モデルとチャートありきならどうか？
貼り合わせデータ（貼り合わせデータ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編）に関連して、ゴタゴタしたことを書く。
Cが圏として、モデル族Mを持っているとする。そして、A∈|C|ごとにChart(A)が定義されているとする。
- Chart(A)⊆LocalMor(C), LocalMor(C) = Mor(LocalC)
- f∈Chart(A) ならば、dom(f) = A, cod(f)∈M
- f∈Chart(A) ならば、fは局所同型である。
- fi∈Chart(A) を選んで、(dom(fi) | i∈I) でAをカバーできる。
この記述に意味を持たせるためには、次が必要。
- Cの局所射
- 局所同型の概念
- カバリングの概念
局所射を定義するには、開集合の概念が必要。カバリングも開集合の集合となる。開集合とカバリングとなると、結局はグロタンディーク位相と同じか？
しかし、Chart(A) を ∪(LocalIso(A, E) | E∈M) として取る必要はない。単に、
- Chart(A) ⊆ ∪(LocalIso(A, E) | E∈M)
モデル類Mも飽和同値で考えるから、実用上の利便性から同値な族のなかで自由に取れる。
f:M→E local-iso in C がチャートのとき、定義台（support of definition）sud(f)⊆M は開集合となる。チャートの定義台を座標近傍と呼ぶ。よって、チャート局所射の定義台＝座標近傍は開集合である必要がある。開集合つうより近傍集合（neighbourhood set）という概念を入れるほうがいいかも知れない。
近傍集合は、任意の射で引き戻しても近傍集合である必要がある。… ンン、やっぱり開集合になるのか？？
（局所）遷移ネットも定義できないと計算ができない。計算は結局のところ遷移ネット（gluing dataとも呼ぶ）上で行う。遷移ネットに対しても互換性（整合性）と細分が必要で。遷移ネットのあいだの射は、適当な細分に対して定義される。PL多様体と状況は似ている。
Chart(A)がどんな具合かが問題だが、Chart(A)が空でもよい。例えば、Aが全不連結空間で、モデルがユークリッド空間なら、Chart(A)は空になる。こういう状況だと、Cの対象がすべて多様体なわけではない。
多様体を作るためにCが必要だが、Cで捨てる部分もある。ゲルマンのいう仔牛肉がCでキジ料理がMan(C)ということになる。CとDが全然違う圏でも、Man(C)とMan(D)が圏同値になることはあるだろう。
