テンソル積空間の導入

お絵描きで古典テンソル計算：行列だけで出来ること - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の続き。結局テンソル積空間は必要だ。

1. テンソル積空間の特徴付け
2. テンソル積空間の構成

テンソル積空間の特徴付け

2つのベクトル空間A, Bに対して圏を作って、その圏の始対象として特徴付ける。圏の構成：

• A×B→X の形の双線形写像を対象とする。
• (a:A×B→X) → (b:A×B→Y) という射は、f:X→Y という線形写像で、三角形の図式を可換にするもの。

この圏の始対象がAB。

テンソル積空間の構成

X⊆A, Y⊆B を基底とする。X×Yから作った自由ベクトル空間をテンソル積ABとする。基底に取り方により無数にテンソル積が出来る。一意的には決まらない。が、どれも同型なので、どれかを選んで固定する。