このブログは、旧・はてなダイアリー「檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編」（http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/）のデータを移行・保存したものであり、今後（2019年1月以降）更新の予定はありません。

今後の更新は、新しいブログ http://m-hiyama-memo.hatenablog.com/ で行います。

お絵描きで古典テンソル計算：方針

お絵描き 説明 その他代数

次を参照して、上下左右。池袋駅問題を決める。

古典テンソル計算の添字の習慣と合わせる意味から多数派の「↑→←→」だろう。

添字フリー（index-free）の場合の記号を決める。たぶん：

  1. 反図式順縦結合は「・」、併置は使わない。
  2. 図式順テンソル積は「* 」、または併置。
  3. 単位行列は、n^ を使う。DOTN記法。

添字フリーだと、縮約（＝部分縦結合）、添字のリネーム（アルファ変換＝恒等）、添字の上げ下げ（＝双対空間への双射とその逆）などが自在に出来ないので、添字は使う。

  1. 上付き・下付きの代わりにブラケット内インデックスを使う。
  2. ブラケット内を矢印で区切る。
  3. 矢印区切り多重インデックスとなる。二部多重インデックス（bipartite multi-index）とも呼ぶ。
  4. 例： [k←i,j] とか。
  5. {1, ..., n} を [n] と書いて、標準インデックス範囲と呼ぶ。
  6. [k:3←i:2,j:3] とかも使う、k:3 は、k∈[3] の意味で、λ(k∈[2], i∈[2], j∈[3]). という意味がある。

キチンと説明すべきは、

  1. クロネッカーのデルタが3種類あり、恒等と対応するベント、コベントを意味する。この3種は、添字（インデックス）の位置で区別する。
  2. 縮約が部分的結合操作であること。
  3. 添字の上げ下げが双対ペアに対する相互変換なこと。クロネッカーのデルタが関係していること。

絵の描き方は、

  1. 上下方向が結合方向で、下から上。
  2. 左右方向がテンソル積方向で、左から右
  3. 行列は四角かオダンゴで表す。手描きの簡単さからオダンゴかな。
  4. ベクトルは三角形、コベクトルは逆向きの三角形。
  5. スカラー値は菱型。
  6. 対象（型）としてのスカラーは、点線で描いて、後から省略する。
  7. 三角形、菱形は、点線であるスカラーを省略した形。
  8. 上下に並べて結合、左右に並べてテンソル積。
  9. 一致するワイヤーを繋いで部分的結合。
  10. ワイヤーの入れ替えはσ記号を使う。
  11. 添字の上げ下げは、クロネッカーのデルタの三角版を使う。
  12. クロネッカーのデルタを、点線オダンゴ（or 点線四角）、ベント記号、コベント記号で略記。

出てくる絵素（picture element）は、

  1. オダンゴまたは四角（一般的射）
  2. 実線（対象）
  3. 点線（単位対象＝スカラー型）
  4. 三角（ベクトル）
  5. 逆三角（コベクトル）
  6. 菱形（スカラー値）
  7. 点線オダンゴ（恒等）
  8. ベント（双対の単位）
  9. コベント（双対の余単位）
  10. 家形（双線形形式＝2-コベクトル＝単純な共変テンソル）
  11. 逆家形（2-ベクトル＝単純な反変テンソル）

反変・共変は、基底変換との関係だから、計算と図示では出すべきではない。絵から分かる、絵素のシェイプ、またはプロファイルだけが問題。シェイプ（プロファイル）は目で見れば明らか。絵を描かないから暗闇での意味不明な計算になる。

基本的には、ボブ・クックの記法を採用して、次の2つのを理解できるようにする。

クック本人じゃないけど、スライド。

[追記]

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