集団と母数と分布空間
「確率空間＋変量（観測量）」を集団（assemblage）と呼ぶことにする。変量の値空間はVに固定する。集団(Ω, P, X)と集団(Δ, Q, Y)のあいだの射fは次のように定義する。
- f:Ω→Δ は可測写像である。したがって、集団の圏はMeas上に具象的である（忘却関手を持つ）。
- f*(P) = Q。確率測度は保存される。
- f;Y = X 観測量も保存される。
V上の分布 X*(P)とY*(Q)は同じになる。従って、分布だけ見てると、(Ω, P, X)と(Δ, Q, Y)は区別できない。分布が同じ集団を同分布と呼ぶことにする。
値の空間V上に (V, X*(P), idV) として集団の構造を入れることができる。この集団は同分布の集団の"代表”として使える。「V上の分布しか見ない主義」は、こうして生まれたのだろう。
日本語の母数は、パラメータの訳語以上の意味があるようだ。母平均、母分散などの使い方やその説明を見ると、母数は、集団に集合Θの要素を対応付ける関手のようなものらしい。母数θ:集団の圏→Θ、集合Θを離散圏とみなせば、母数は関手とみなせる。
- 母数θ:Assem→Θ （Assemは集団の圏）
母数が関手であるためには、f:(Ω, P, X)→(Δ, Q, Y) があると、θ(Ω, P, X) = θ(Δ, Q, Y) となる。このことは、Θが離散圏であることから従う。
θは意味的には、集団に対して定義されるが、同分布の集団では同じ値を取るので、分布に対して定義すれば十分。したがって、値の空間V上の分布をDist(V)として、θ:Dist(V)→Θ となる。こうして、母数とは分布の空間で定義されたΘ値汎関数である、という解釈が可能となる。
汎関数としての母数が、パラメトリックモデルのパラメータ表示の射影になっている、というのが統計汎関数のフィッシャー一致性である。
