初等的概念と記法の合理化

記号	名称	合理化
μ	母平均	μ[X]
σ2	母分散	σ2[X]
	標本平均	mean, Mn[X]
s2	標本分散	bvar, bvar(X(n))
	母誤差分散	σ2[Mn[X]]
	標本誤差分散	無理
	不偏分散	uvar(X(n))
	不偏誤差分散	(1/n)uvar(X(n))

母平均、母分散、母標準偏差に関しては、集団に組み込まれた基本観測量である確率変数を受け取る汎関数として定義する。集団に対する汎関数＝変量（確率変数）に対する汎関数＝分布に対する汎関数。

• μ = μ_x = μ_X = μ[X] = E[X]
• σ² = σ²_x = σ²_X = σ²[X] = SV[X] = E[(X|X)]
• σ = √(σ²)

なお、汎関数Var[X]は、Cov[X, X] = E((X-E[X])(X-E[X])'] の意味であり、Xの自己共分散行列。

• 標本平均値関数はmean_n、標本平均量確率変数は mean_n(X⁽ⁿ⁾) = M_n[X]
• バイアスあり（有偏）分散の統計値関数はbvar_n、対応する統計量確率変数は S² = bvar(X⁽ⁿ⁾)。
• 誤差分散は、標本平均量確率変数の分散スカラーだから、σ²[M_n[X]] と定義される統計汎関数。
• 誤差分散は、統計汎関数であり、しかも実効統計汎関数ではなくて超越統計汎関数。つまり、汎関数に対応する統計値関数がない。統計値関数を標本統計量とするなら、対応する標本統計量はない。（これ、要確認）
• 標準誤差は誤差分散の平方根なので、同様に標本＝観測値に対する統計値関数はない。（これ、要確認）
• 誤算分散とその平方根である標準誤差は、確率変数または分布に対して定義される統計汎関数なので、n-標本値＝n-観測値に対して定義される統計値関数と対応する統計量確率変数によって推定することは可能。つまり、超越統計汎関数を推定するための統計量確率変数を生成する統計値関数は定義可能。

このへんは、まだ整理が付いてないところ。算術的な統計値関数と有限標本集団上の統計汎関数の関係がはっきりしてない。