統計変換としての平均と分散 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

$\bar{x}$ , s², $\hat{\sigma}^2$ の確率変数版は、 $\bar{X}$ , S², U などと書かれるが、もっと正確な定式化には統計変換を使うほうが良い。

$\bar{X}$ , S², U に対応する統計変換を、M_n, BV_n, UV_n と書く。nは標本サイズを示す整数。確率変数 X:Ω→R に対して、

M_n[X]:Ωⁿ→R M_n[X] := mean(X⁽ⁿ⁾)
BV_n[X]:Ωⁿ→R BV_n[X] := bvar(X⁽ⁿ⁾)
UV_n[X]:Ωⁿ→R UV_n[X] := uvar(X⁽ⁿ⁾)

次の公式は重要。

E[M_n[X]] = E[X]
Var[M_n[X]] = (1/n)Var[X]

これは、次のように略記される。（μ_X = μ[X] = E[X]、σ²_X = σ²[X] = Var[X]）

$\mu_{\bar{X}} = \mu_{X} = \mu$
${\sigma^2}_{\bar{X}} = \frac{{\sigma^2}_{X}}{n} = \frac{{\sigma^2}}{n}$

さらに、Xとxを同一視して（最悪だけど）

$\mu_{\bar{x}} = \mu$
${\sigma^2}_{\bar{x}} = \frac{{\sigma^2}}{n}$

これらは、統計変換Mと統計汎関数μ[-] = E[-], σ²[-] = Var[-] のあいだの関係式である。

統計変換の値である確率変数 M_n[X] は、統計汎関数の値 μ[X] に漸近する。つまり、lim_n→∞ M_n = μ である。統計変換の有向族は、統計汎関数を近似する。さらにM_nは任意のnにおいて不偏性を満たす。標本サイズを増やさなくても、標本回数（サンプリング回数）を増やしてその平均を取れば真値（統計汎関数の値）に近付く。

同様に、統計変換BVとUVは、統計汎関数 σ²[-] = Var[-] を近似する。特にUVは不偏性を持つ。