勘違い！確率標本はモノイド累乗関手だった - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

Ω = (Ω, ΣΩ, P) が確率空間とする。可測空間を Ω = (Ω, ΣΩ) として、Ω = (Ω, P) とも書く（かなり酷い記号の乱用）。

確率変数（変量、基本観測量）X:Ω→Rがあるときに、サイズnの確率標本は、 $\Delta_n;X^{\otimes n}$ だと書いてきたが、これは間違い！ 単にテンソルベキ $X^{\otimes n}$ が確率標本だった。確率変数Xに伴うサイズnの確率標本を X_(n) と書くなら、

$X_{(n)} \,:=\, X^{\otimes n} = X \otimes X \otimes\, \ldots\, \otimes X$

確率変数XからX_(n)を作る操作を Samp_n:X|→X_(n) と書くと、Samp_nは関手になる。Samp_nは、単なるテンソルベキ関手（モノイド累乗関手）である。任意のモノイド圏で定義可能。

モノイドn項積関手 $\bigotimes_{n}$ は次のように定義できる。

$\bigotimes_{n}(A_1, \ldots, A_n) \,:= A_1 \otimes \,\ldots\, \otimes A_n$

これはn項関手で、C× ... ×C→C となる。n = 0 のときは、Cのモノイド単位を指し示すポインティング関手となる。n-対角関手とn項積関手を結合して、nベキ（n累乗）関手を定義できる。