統計汎関数と推定量の一致性

推定量の一致性という概念がある。むしろ、一致性は推定量の定義だろう。「一致性を持たない推定量」という言葉はナンセンスだと思われる。

確率変数 X:Ω→V があるとき、データ空間 D = V + V² + V³ + ... を作れる。データ空間Dは観測や実験の結果とみなせる。データ空間は、i = 1, 2, 3, ... のインデックスを持った逆帰納系なので、逆極限（射影極限）を考えてそれをV^∞としておく。

（単純な）パラメトリック統計モデルは、Rⁿの開集合Θによる p:Θ→Disv(V) となる。パラメータ表示写像pの像をモデル多様体と呼ぶ。M = p(Θ)。M上で定義されたpの逆写像を座標と呼び、記号の乱用で θ:M→Θ のように書く。伝統的乱用記法を使うと、θ(p(θ)) = θ, p(θ(p)) = p。

統計汎関数とは、F:Dist(V)→R のこと。統計的汎関数を、Dist(V)の部分集合で定義されたものも許すと、θⁱ:M→R も統計的な汎関数となる。ここで、θⁱは、モデル多様体の座標の成分（射影関数を結合したもの）。ただしここでは、分布の空間Dist(V)の開集合上で定義されたモノに限り統計汎関数と呼ぶ。

統計汎関数 F:Dist(V)→R をモデル多様体Mに制限したとき、モデルの座標関数と一致するとき、フィッシャー一致するという。Fⁱ:Dist(V)→Rⁿ の組をタプルにした F:Dist(V)→Rⁿがちょうとモデル多様体の座標に一致するときもフィッシャー一致と呼ぶ。

F:Dist(V)→Rⁿ がフィッシャー一致のとき、Θ⊆Rⁿ だったので、p;F = id_Θ となる。つまり、フィッシャー一致する統計汎関数は、モデルのパラメータ表示に対する射影になっている。