どうやって合理化するか、z値の例
ホントに疲れる！
次の言明をどう解釈するか。
- x 〜 N(μ, σ2) のとき、z 〜 N(0, 1)
- ここで、z = (x - μx)/σx
知っている人には、見慣れた何でもない記述だろうが、解釈にはほんとに苦労した（結局は曖昧のままだが）。「それが何であるか」が定義されないままに用語と記号だけで話が進むので、言明の意味がサッパリ理解できないのだ。
で、言明の背後に何があり、どのような習慣が使われているかを推測する。
(Ω, ΣΩ, P)を確率空間とする。記号「μ」を平均（mean）の意味で使うので確率測度はPとする。確率変数（可測関数）X:Ω→Rに対して、
- PX := X*(P) 前送り測度
- FX := λx∈R.PX({t∈R | t ≦ x}) 測度PXの累積分布関数
- fX := d/dx(F) 測度PXの密度関数
Xは確率変数なので、確率変数の空間（テレンス・タオ流） L∞-(Ω, ΣΩ, P) を考えると、X|→PX は、
- P-:L∞-(Ω, ΣΩ, P) → Measure(R, ΣR)
となる。確率変数は、ボレルσ代数を備えた可測空間Rの上に確率測度を誘導する。誘導された測度がXの分布だ。ここで、Ω上の確率測度もPと表しているので、PとP-で記号の乱用（オーバーロード）をしている。
また、
とする。σ2が実は単一変数なのが独特な習慣。
N(μ, σ2)はnormalDist(μ, σ2)の略記だと思ってよい。N(0, 1) = normalDist(1, 0)は次のようになる。
normalDistは、
- normalDist:R×R≧0→L∞-(R, ΣR, dx)
dxはボレルσ代数上の標準ルベーグ測度を象徴的に表す記号。L∞-(R, ΣR, dx)が、R上の分布の空間Dist(R)だと思ってもいいだろう（色々と補足事項はあるが）。
さて、x 〜 N(μ, σ2) の解釈だが、確率変数XとR上の単なる変数xを混同するという悪しき習慣が使われている。なのでこれは、X 〜 N(μ, σ2)。
「〜」は「従う」だが、この場合は、
- fX = normalDist(μ, σ2)
と解釈できる。同様に、
- fZ = normalDist(0, 1)
normalDist(0, 1)を標準正規分布（の密度関数）と呼ぶ。XやZはあくまで確率変数であって、fX、fZは密度関数である。
z = (x - μx)/σx の正確な意味は、
- z = λx∈R.(x - μx)/σx
つまり、zはR上の関数だが、z = z(x) のような古典的習慣が使われて、変数（so-called 従属変数）と関数を同じ記号で表す。
小文字zと大文字Zも習慣で、z:R→R に対応する確率変数を大文字にする。しかし、この大文字小文字対応も省略して、確率変数と単なる変数を同じ文字で表すことが多い。もうどうにもならない。酷い、酷すぎる。
まだある。μx と σx が何であるか？ これもxとXの混同らしく、
- μx = μX = E[X]
- σx= σX = √(V[X])
らしい。E[X]とV[X]は、確率変数Xに対する期待値と分散である。μxを「xの平均」とかいうが、このときのxは確率変数Xを意味する（はずだ）。
zの定義をもう一度書き直すと：
- z = λx∈R.(x - E[X])/√(V[X])
x, zを確率変数だと思い直すと、
- Z = (X - E[X])/√(V[X])
X|→Z の対応は確率変数の空間における変換とみなせる。
さてさて、事実はもっと錯綜している。z = (x - μx)/σx は僕がより理解しやすいように書き換えたもので、もとの記述は、
- zi = (xi - μx)/σx
下添字iは、サンプルの番号を走ると思われる。x = (x1, ..., xn) = (xi) と書いてみると、
- μx := Σ(i = 1, ..., n| xi) ここのΣは総和！
じゃないかという疑いも出てくる。しかし、このような場合はオーバーバーが使われる習慣に依拠して、その可能性は排除した。確率変数の等式だと再解釈すると：
- Zi = (Xi - μX)/σX = (Xi - E[X])/√(V[X])
となると、Xi達は、確率標本（標本基底）ということになり、Zは確率変数の列のあいだの変換とも捉えられる（かもしれない）。このときも、XとXiに暗黙の関係性（Xi達はXと同分布と独立）を仮定していると思われる。
結局、評判が良い某教科書の真意のほどは謎のままだ（それ以上は何も書いてないので）。
