標本部分環

AがR上の可換環で期待値（トレース）E[-] を持ち、統計独立性の概念が定義されているとする。X, Yの（代数的な）統計独立性は、多項式f, gに関して、

• E[f(X)] = 0, E[g(Y)] = 0 ならば E[f(X)g(Y)] = 0

として定義できそう。複数の要素の統計独立性も同様。

f(X) = X - μ, g(Y) = Y - ν として、E[f(X)] = E[X - μ] = E[X] - E[μ] = μ - μ = 0、gも同じとすると、f(X)g(Y) = XY - μY - νY + μν = で、E[f(X)g(Y)] = E[XY] - μE[Y] - νE[Y] + μν = E[XY] - μν - νμ + μν = E[XY] - νμ = 0 から、

• E[XY] = μν = E[X]E[Y]

これが最もよく使う。XとYの統計独立性を X⊥Y と書くと、

• X⊥Y ならば、E[XY] = E[X]E[Y]

X₁, ..., X_n が可換環（トレース付き）Aの元として、これらから生成される部分環の概念は普通に定義できる。

部分環の生成元X₁, ..., X_nが統計独立で、次を満たすとき、標本基底と呼ぶ。

• 任意の多項式fに対して、E[f(X_i)] = E[f(X_j)]

次のように言っても同じ、

• 任意の非負整数kに対して、E[X_i^k] = E[X_j^k]

標本基底 X₁, ..., X_n から生成されたAの部分環を標本部分環と呼ぶ。標本部分環における形式的な多項式計算が、通常の統計量の計算になる。この計算は、具体的な観測量の代数Aとは無関係で、多項式環に公理かされたEを入れたものと同じだと思われる。つまり、環Aの個性はまったく無くなってしまうのではないかと。