分散の計算例

Xの平均はX^-で表すことにする。とは言っても、そもそも曖昧だと思うが。

• V[X^- - μ] = σ/n

の計算（μは効いてこないので、定数ならなんでもいいが）：

   V[X- - μ]

//1   

=  V[(X1 + ... + Xn)/n - μ]

//2

=  V[1/n(X1 + ... + Xn - nμ)]

//3

= (1/n2)V[(X1 + ... + Xn - nμ]

//4

= (1/n2)V[X1 + ... + Xn]

//5

= (1/n2)(V[X1] + ... + V[Xn])

//6

= (1/n2)(V[X] + ... + V[X])

//7

= (1/n2)(nV[X])

//8 

= (1/n)V[X]

//9

= σ/n

これがまた暗黙の了解を使いまくり。

1. X^- = (X₁ + ... + X_n)/n と置換。このとき、X_iが独立同分布と仮定する。XとX_i（i = 1, ..., n）はそのように使うことが多い。
2. 1/n をくくり出す。ここは単なる計算
3. V[αX] = α²V[X] という分散の2次同次性を使う。
4. V[X + 定数] = V[X] を使う。分散の並行移動不変性。
5. 独立な確率変数のときは和を展開してよい。独立性は暗黙に仮定した。
6. すべてのX_iが同分布なので、X = X_i のようにしてよい。
7. 単なる計算。
8. 単なる計算。
9. V[X] = σ

使っている法則は：

1. V[αX] = α²V[X]
2. V[X + α] = V[X] αは定数
3. V[X + Y] = V[X] + V[Y] XとYは独立

Vの定義は、

• V[X] := E[(X - μ)²]

Eの性質は

• Eは線形
• E[1] = 1
• これから、並行移動性は E(X + α) = E(X) + α
• XとYが独立なら、E(XY) = E(X)E(Y)