サンプリング構造

言及されない重要な構造には、

• 変量（変数、観測量、項目、カラム、属性、特徴量、特性）
• 母集団
• サンプル（標本）

がある。これらはほんとに重要だと思うが、なぜ重要概念が説明されないのか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の事情で通常はサラリと適当な説明で済まされる。

変量は基本的に可測写像。ただし、域には有界測度を仮定する。前送り測度が、その変量の分布。前送りではなくても分布と呼ぶことはある。分布＝測度。

母集団は測度空間＋変量。変量がひとつなら単変量母集団、複数なら多変量母集団。多変量の直積に組んだ値の空間を特徴空間（feature spece）と呼ぶことがある。母集団の台集合の要素は個体、観測、ケース、レコード、事件（happening）など。個体は、サンプリングの添字ともみなされる。

母集団は必ず測度と変量（単一または複数）を伴う！ こう仮定しないと多くの用語・概念が解釈不能。変量の値の空間は多くの場合R、そうでないと解釈や計算が不可能なときが多い。ただし、R以外もあるにはある。以下、すべての変量（観測量）はR値、つまり数変量（numeric variable）。

U = (U, ΣU, μ, X) が母集団のとき、n-サンプリングやサンプリング系を構成できる。

• Uⁿ はUのnベキだが、n-サンプリングを定義する。
• U^* はUのクリーネスター。実際は、和はないので、{0, 1, 2, ...}で添字付けられた測度空間の圏における図式（関手）。
• U^∞ はUの無限ベキ。極限定理のために必要。

U = (U, ΣU, μ, X) に対して、

• Uⁿ = (Uⁿ, (ΣU)ⁿ, μⁿ, X⁽ⁿ⁾)

μⁿ は、測度のテンソル積で、台集合は直積となる。変量のベキX⁽ⁿ⁾は、Uⁿ→Rⁿ の形となる。Xの自分自身との独立性から、

• <X, ..., X>:U→Rⁿ

が変量のベキX⁽ⁿ⁾と同じ分布となる。よって、デカルトタプル<X, ..., X>をベキの代わりに使える。これ、ものすごく重要だが、触れられてもいない。

U^*は、Uⁿ達を射影と変数の置換から生成される図式を表す。図式は関手と解釈されて、射影極限を考えることができる。図式U^*の射影極限がU^∞。

U^*とU^∞を一緒にした図式（関手）をサンプリング系と呼ぶことにする。サンプリング系は次のものを含む。

• 各nに対するnサンプルUⁿ
• 無限サンプルU^∞
• U^∞も含めて射影と変数の交換の射

統計値と統計量の区別はないようだが、無理に定義するなら、

• f:Rⁿ→R が統計値
• Rⁿに値を取る変量と f:Rⁿ→R の結合が統計量、確率変数

母集団は変量を備えた概念なので、「変量の×××」の代わりに「母集団の×××」が使われる。

• 母集団の分布＝変量の分布＝R上の密度関数
• 母集団の平均＝変量の平均＝測度による変量の積分
• 母集団の統計値＝変量の統計値＝単なる関数
• 母集団の統計量＝変量の統計量＝確率変数

母集団のパラメータは、変量のパラメータというより、分布のパラメータであり、同じ分布を持つ母集団は同一視される傾向がある。例えば、「平均と分散が同じ正規母集団は同じ」とみなす。結果、母集団の族（類）を同値関係で割ったものとパラメータ空間が同一視される。

母集団の族はモデルの族とも言える（そのほうが適切）なので、モデルの族とパラメータ空間が同一視される。この同一視も重要だが触れられない。明示的な説明の代わりに天下りやスリカエが使われる。