convention over configuration な計算 2

可測な文脈において：

1. X, Yなどは可測空間、σ代数は明示しない。
2. A⊆X は、Aが可測空間の可測集合であることを示す。
3. X上の測度μに対して、μ(;x)dx という測度微分形式を考える。
4. M(Y)はY上の有界測度の全体（モナドの台関手）として、α:X→M(Y)は測度値写像
5. 測度値写像は、カリー化／アンカリー化を同一視する。α(x)(B) = α(x; B) = α(x, B)
6. 積分はブラケットで略記する。 [A|被積分項]
7. 被積分項には測度微分形式を使う。[A|f(x)μ(;x)dx]
8. 全空間の積分のときには積分領域を省略してよい。[X|f(x)μ(;x)dx] = [f(x)μ(;x)dx]

次が基本：

• 測度 μ =~ μ(;x)dx
• 測度値写像 α(x) =~ α(x; y)dy

ここで、=~ はコンベンショナルな等号で、右辺が左辺の表現を提供することを示す。次の等号は合理化できる。

• μ(A) = [A|μ(;x)dx]
• α(x)(B) = [B|α(x; y)dy]

μ∈M(X)、α:X→M(Y)、β:Y→M(Z) に対して、次を定義する。

• α*μ∈M(X×Y) αとμのテンソル積
• α.μ∈M(Y) μへのαの適用
• β・α:X→M(Z) αとβのクライスリ結合（合成）

テンソル積の定義：

• α*μ =~ (α*μ)(;x, y)d(x, y) := α(x;y)μ(;x)dx,dy

これは積分しないと意味を持たない。

• [A×B|(α*μ)(;x, y)d(x, y)] = [B|[A|α(x;y)μ(;x)dx]dy]

外側の積分は、[B|[A|α(x;y)μ(;x)dx]dy] → [A|α(x;B)μ(;x)dx] と書き換えて解釈する。したがって、

• [A×B|(α*μ)(;x, y)d(x, y)] = [A|α(x;B)μ(;x)dx]

次のようにも書ける。

• (α*μ)(A×B) = (α*μ)(;A, B) = [A|α(x;B)μ(;x)dx]

適用の定義：

• a.μ =~ (α.μ)(;y)dy := [α(x;y)μ(;x)dx]dy = [X|α(x;y)μ(;x)dx]dy

B⊆Y を入れてみる。

• (α.μ)(;B) := [B|[α(x;y)μ(;x)dx]dy] = [B[X|α(x;y)μ(;x)dx]dy]

[B[X|α(x;y)μ(;x)dx]dy] → [X|α(x;B)μ(;x)dx] = [α(x;B)μ(;x)dx] なので、

• (α.μ)(;B) := [α(x;B)μ(;x)dx]

これは、測度（分布）のαによる前送りを定義する。定義から

• (α.μ)(;B) = (α*μ)(X×B) = (α*μ)(;X, B)

結合の定義：

• β・α =~ (β・α)(x) := [Y|β(y;z)α(x;y)dy]dz

これより、

• (β・α)(x)(C) := [C|[Y|β(y;z)α(x;y)dy]dz]

[C|[Y|β(y;z)α(x;y)dy]dz] → [Y|β(y;C)α(x;y)dy] と変形して、

• (β・α)(x)(C) := [Y|β(y;C)α(x;y)dy]