dν = fdμ の意味

X = (Ω_X, Σ_X, μ_X) を測度空間だとして、Ω_XをX、Σ_X = ΣX、μ_X = μ と略記する。X上の（標準的）積分I_μは、XからR_≧0への関数に対して定義されるとする。I_μ:Integ(M)→R_≧0。Integ(X)は、X上の可積分R_>≧0値関数の全体。

f∈Integ(X)を選んで密度関数と呼ぶ。新しい測度νを次のように定義する。

• ν(A) := I_μ(fχ_A)

χ_Aは部分集合Aの特性関数で、fχ_Aは、fと特性関数の積なので、fをAでカットオフ（あるいはマスキング）したもの。

以上にように、νがfとμから定義されたとき、便宜的に dν = fdμ と書く。この記号は次の計算で便利に使える。

  ν(A)

  = Iν(χA)

  = ∫χAdν

  = ∫χAfdμ

  = ∫Afdμ
  Iν(g) 

  = ∫gdμ 

  = ∫g(fdμ)

  = ∫(gf)dμ

密度関数がディラックδになってしまうときでも、仮想的な密度関数を考えるか、関数概念を拡張するかで、fdμ に意味を持たせることができる。離散確率分布の“確率質量関数”というのは、仮想的な密度関数または密度関数の代理表現のようなものだ。あの不連続な関数自体をどうこうしてもしょうがない、表現形式に過ぎない。

密度関数を、-∞から積分した不定積分である累積関数は意味がある。ただし、値の空間がRであるときに限られる。RRに線形順序構造があるから、-∞からxまでの累積値をF(x)と定めることができるわけで、多次元ベクトル（or アフィン）空間の点xを取って、xまでの累積値と言われても累積の方法が決まらない。

密度関数fを物体＝物質分布と考えると、fdμは、標準的なカラッポの空間の測度μから、物体＝物質分布がある空間での物体を考慮した測度νを作る操作になる。しかし、「物体がないカラッポの空間」を定める基準がないと、μとνの関係は相対的となり、密度関数で移れるという「関係」があるだけとなる。測度を対象、密度関数を射とする圏が出来る。