スピヴァックのクエリーの圏と切断集合関手

Fがデータベースインスタンスで、Fのスキーマを S = Sch(F) とする。スピヴァックのリフティングクエリーの理論だと、Fのクエリーの圏 Query(F) が定義できる。Query(F) の対象は、四角形の図式だが、その一辺は、p:R→S という形をしている。このpがプローブだ。クエリーにそのプローブを対応させる関手をψとすると、ψ:Query(F)→Sch/S となる。

クエリーに対して、そのlifting solutionsの集合を対応させると関手になる。この関手は Γ(Q, F) と書く。Qはクエリーで、Fがインスタンス。Γ(-, F)は、Query(F)→Set という関手だが、Γ(-, -) を定義したい。Γ(-, -) の定義域は、Query(F) のFを動かした圏となるだろう。

一般に、Γ(X, F) は、空間X上の層Fの大域切断の集合を表すが、いま定義したΓとアナロジーがある。クエリーやプローブに対するΓは、空間上の大域切断を射に関して相対化したようなものだ。高次のコホモロジーはわからんが、少なくとも0次のコホモロジーは定義できる。それがΓだ。圏の表示の制約に不等式を使うと、1次のコホモロジーが出てくるんじゃないかと期待している。