derivatorのopen/closeイマージョン

derivatorといえば、モーリッツ・コーツ（Moritz Groth）の学位論文が詳しい。216ページでとても読みきれんが。

• http://www.math.uni-bonn.de/people/grk1150/DISS/dissertation-groth.pdf

コーツは、ジョルジュ・マルツィニョティス（Georges Maltsiniotis）と親交はあるようだが、マルツィニョティスがコーツの先生ではないようだ。先生はケラー（Bernhard Keller）らしい。

それはそうと、イマージョン（immersion）の定義：

Let u: J → K be a fully-faithful functor which is injective on objects.

1. The functor u is called a closed immersion or a cosieve if whenever we have a morphism u(j) → k in K then k lies in the image of u.
2. The functor u is called an open immersion or a sieve if whenever we have a morphism k → u(j) in K then k lies in the image of u.

fully-faithful functor which is injective on objects であることから、J⊆K と思ってよい。それで、

1. j∈|J| で j→k というKの射があるなら k∈|J| が成立するとき、Jは閉イマージョン。
2. j∈|J| で k→j というKの射があるなら k∈|J| が成立するとき、Jは開イマージョン。

閉イマージョンは、外に向かう逃走に関して閉じている部分グラフ、開イマージョンは、内に向かう侵入に関して閉じている部分グラフ、という感じ。これは、圏の充満部分圏を作っていくときの方法になりそう。連結成分に近い。