有向グラフのラベリング、ガード付き文字列、境界付きアルファベット、

有向グラフのラベリングが関手だと書いたことがあるが：

関手の域は、グラフから作った自由圏（パスの圏）
関手の余域は、ラベルから作った圏

ラベルから作った圏Cとは、頂点ラベルがA、辺ラベルがBとして：

|C| = A
a, b∈A に対して、C(a, b) = B^* （ホムセットはすべて同じ）
結合 C(a, b)×C(b, c) は B^*×B^* のモノイドの積
aに対する恒等id_a は、C(a, a) 内のモノイド単位元、つまり空列。

正確に言えば、C(a, b) = {a}×B^*×{b} のようにして、ホムセット達をdisjointにしておく。すると、f∈C(a, b)は、aαb（α∈B^*）とみなしてよい。aαb のような形、念の為に a{α}b か、これはガード付き文字列だから、ホムセットはガード付き文字列の集合。

以前から問題にしていた境界付きアルファベットとは、(Σ, Σ₀, Σ₁, Γ) の4つ組で：

Σはガード記号＝頂点ラベルの集合
Σ₀⊆Σ
Σ₁⊆Σ
Γは辺ラベルの集合

この(Σ, Σ₀, Σ₁, Γ) から、上記と同様な手段で圏Cを作れ。Cの対象類にはΣ₀、Σ₁という境界が付いている。これで、圏Cは境界付きの圏となる。

Gが境界付きグラフ（単なるシェープ）のとき、Gから圏Cへの境界を保つ関手が定義できる。この関手がラベリング。このラベリングは、境界付きグラフGを台とするカテグラフ（圏を値とする準同型）となる。境界があることから、境界を考慮したグルーイングができる。つまり、シェープのグルーイングと協調したカテグラフのグルーイングが定義できる。

より一般に圏のコボルディズム圏（境界付き圏を射とする圏）に値を持つようなラベリングを考えることができるだろう。このラベリングがTQFT関手の対応物だろう。

次がほぼ同じもの：

カテグラフ
境界付きラベリング
TQFT関手

これらを繋ぐのは、やはり行列概念の一般化だろう。