このブログは、旧・はてなダイアリー「檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編」(http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/)のデータを移行・保存したものであり、今後(2019年1月以降)更新の予定はありません。

今後の更新は、新しいブログ http://m-hiyama-memo.hatenablog.com/ で行います。

計算構造

「式を計算(評価)して値を求める」-- という構造を一般化するハナシ。とりとめもない。



計算とは(ここでは)、計算関手:図式の圏→値の圏。値の圏は、事実上「行列の圏」。図式とは、図 and/or 式、つまり、graph, diagram, term, expression, formulaなど。

値の圏⊆図式の圏 とみなせる。この包含関手を使うと、計算関手:図式の圏→図式の圏 という自己関手とみなせる。計算自己関手を備えた図式の圏=計算の圏=計算構造。

計算自己関手のアルゴリズム部分=計算手順=正規化=簡約=還元=変形=書き換え。

計算構造を持つ圏は、図式書き換え系とみなせるから、書き換えを2-射とする2-圏。計算自己関手は2-圏の構造から得られる。2-圏の構造=計算手順が、計算自己関手を定義する手段となる。

計算手順=2-射=書き換えは、2-射の生成系である計算ステップから生成される。計算ステップ=移動=基本変形=書き換えルール。



図式=形状+係数。形状=複体。係数域=古典的な代数系。係数は、付置、ラベル、カラー、重さ、荷電、パリティ、ポテンシャル、流量、k-形式、など。



レルム=圏の圏、形式的には2-圏がレルム。Cが圏として、Cのモノイド対象(内部モノイド)の圏をMod(C)とする。Modはレルムからレルムへの関手。Mod(C) = CΔ = Func(Δ, C) なので、Δは関手Modを表現する表現対象(表現圏)。

これは、Δが形状の圏で、Cが係数域で、Modは自由生成された関手と考えることができる。