割り算できそう
メリーズの定式化をヒントに割り算問題を考えてみた。思い付きだから、確認しないとヤバイけどね。
圏Cの部分圏Σが次の条件を満たすとき、Cのメッシュと呼ぶ。
- 広大部分圏である。
- 痩せた（細い）亜群である。
- AとBが同型ならΣ(A, B)は空でない。
Σによる割り算として、商C/Σと強い商C//Σを定義する。C/Σの定義はメリーズと同じ。C//Σは次のように定義する。f:A→B と f':A'→B' が同値であることを次のように定義する。
- AとA'、 BとB'はCで同型である。
- Σの射を[A, A'], [B, B']のように書く。
- f' = [A',A];α;f;β;[B,B'] と書けるとき、fとf'は同型である。ただし、αとβはCの自己同型。
メッシュΣの標準的な選び方はまったく存在しないので、ΣとΓがメッシュのとき、C//ΣとC//Γが圏同値になることを示さないといけない。
DがCの十分な部分圏のとき、CのメッシュΣをDに制限してもメッシュができる。C//ΣとD//Σは圏同値だと思うがどうか？
線型代数で言えば、線形写像の標準形を求める話。有限次元ベクトル空間の圏のなかで、数空間の圏が十分な部分圏になっている。特に数空間では標準基底が選べるから、数空間の圏には標準的メッシュが存在する。つうか、骨格部分圏か（圏が骨格的 ⇔ 同型の対象は等しい）。強い同値関係だから、ランクだけで分類されてしまう。結局、{0, 1, ..., n}を対象としして、0からkまでを0に移し、残りは単射で埋め込む写像の圏と圏同値になる。ほかの分類や標準形も、圏の割り算で説明できるか？
それと、十分な骨格部分圏の上で、f' = α;f;α-1で同値関係を入れたらどうなるだろう。
