随伴対と自明なモノイド

随伴と双対を区別せずに、F -| G とか A -| B と書くことにする（ストリート流）。F -| G のとき、

1. G = F^*
2. F = ^*G

と書いて、

1. G = F^* はFの右随伴
2. F = ^*G はGの左随伴

と呼ぶ。左右が逆になる用語法もあるが、四の五の言ってもラチがあかないので、とにかくこう決める（セリンガーの定義）。

F -| F^* のとき、単位η:I→F^*・F と 余単位ε:F・F^*→I が決まる。正確には、(F, F^*, η, ε)が随伴対。ここで「・」は当該の圏のモノイド積だとする。圏がEnd(C)のとき、・は関手の反図式順結合。

M = F^*・F とおく。随伴対の単位は η:I→M となる。μ:M・M→M を、

• M・M = (F^*・F)・(F^*・F) = F^*・(F・F^*)・F

を使って、μ := F^*・ε・F として定義する。これは、随伴対から決まる標準的なモノイドで、モノイド法則は単位／余単位に関するジグザグ法則から自動的に出る。

関手の随伴対からモナド＝関手圏のモノイドが出現するメカニズムはこれだけだ。逆方向に、モナドから随伴対を構成するのは難しいが。