ゲッ、直積が直和だから、、、あーそうか！

関係圏Relでは、圏論的直積が集合論的直和で与えられる。僕は、これは単に面白い小咄（地口落ち）だと思っていた。が、いやいや重要ですぜ。今まで奇妙に感じていたことがこれで解明される。

デカルト圏の対角Δが、なぜか直和へのコピーに解釈されることがあって、違和感を持ち続けてきた。しかし、射が関数でも部分関数でもなくて、関係であるとすると、デカルト積が集合としては直和で与えられるのは当たり前だった。

集合圏で考えていると、始対象と終対象が違うのも都合が悪いのだが、関係圏では、どっちも空集合で与えられるんで、空集合を⊥と書くとツジツマが合う。余対角∇も導入できて、Δ∇ = 1 も言えるので加法的ペキ等圏（1 + 1 = 1の圏）になる。

関係圏がフーフマンの線形圏になるから、ベクトル空間の直和＝直積＝双積と同じ感覚で扱えばいいのだ。集合論的直積はテンソル積だ。なるほど、これは自然だ。