測定構造と自然基底／計算用基底、空間

自然基底と計算用基底という概念はバカみたいだが、すごく重要かも知れない。僕らが自然基底（あるいは標準基底）だと思っていたのが計算用基底だったのかも知れない。

例えば、自己随伴（自己共役）作用素があると、固有ベクトルの組が自然基底ということだろう。関数を、時間や空間の変数で書いているのは、たまたま使いやすい計算用基底（あるいは記述用基底）を使っているのであって、（ある観点からは）自然ではないってことだ。

スペクトル論（の一部）は、与えられたヒルベルト空間＋自己随伴作用素（観測構造といえるだろう）に対して自然基底を求める手法といえるだろう。複数の自己随伴作用素があれば、それぞれが自然な基底を持つ。交換する作用素は自然基底を共有する。が、一般には交換＝共有しないから、いろんな自然基底があるってこと。いろんな基底による表示＝展開は用途により使い分ける。

基底とはつまり空間なんだろう。空間とは関数がそこで定義されるべき点の集まりね。実際には、点があるから関数があるのではなくて、関数があるから点が見える。で、見え方がいろいろ。ことなる方向から見ると空間もいろいろな見え方をする。空間が変われば、当然ながら関数の表示（展開）も変わるわけだ。

物理や工学で、時間領域と周波数領域って言葉を使うが、（言葉は変だが）あれは時間空間と周波数空間といっても同じ。ことなる空間で同じ関数を見ると（展開すると）表示式は違うが実体は同じ。表示の側の変換＝展開の書き換えがフーリエ変換だな、おそらく。

自然基底が一意に決まるかというと、そうでとは限らない。例えば、正規直交基底はユークリッド空間やヒルベルト空間の自然基底だが、一意には選べない。基底のあいだも変換群でも結ばれている。この場合は直交群やユニタリ群。

ヒルベルト空間上のダガー・フロベニウス構造は一意的に基底を定めるそうだから、これはものすごく強い構造ってことになる。究極的に強いね、標準基底が1個しかないのだから。