直交性を使うための条件：弱対称性

内積を扱っていて、直交性や直交補空間を使わないのは無理がある。

だが、内積の対称性をまったく仮定しないと直交性がうまく定義できない。x⊥y ⇒ y⊥x がないと辛い。一般には、(x|y) = 0 ⇒ (y|x) = 0 は出ない。2次元で反例：以下、<x, y>は縦ベクトル、[x, y]は横ベクトル。

Φ(<x, y>) = [x + y, -y] と定義する。<1, 0>と<1, -1>は45度三角定規だから、Φは非退化双線形形式を定義する。Φが定義する内積を(-|-)とする。

 (<1, 1>|<1, 2>)

= [2, -1]<1, 2>

= 2 - 2 = 0
 (<1, 2>|<1, 1>)

= [3, -2]<1, 1>

= 3 - 2 = 1

これが、(x|y) = 0 かつ (y|x) ≠ 0 の例を与える。

以上より、x⊥y ⇒ y⊥x が欲しいなら、(x|y) = 0 ⇒ (y|x) = 0 を前もって仮定せざるを得ないことがわかる。(x|y) = 0 ⇒ (y|x) = 0 を弱対称性と呼ぼう。