抽象スカラーと貼り合わせ自由代数

モノイド積を×、モノイド単位を1として、

• λ:1×A→A
• ρ:A×1→A

を単位律を与える構造射（unitor）だとする。K = End(1)を抽象スカラーとして、抽象スカラーによる乗法は次のように定義される。

• k-*f = λ^-1;(k×f);λ
• f*-k = ρ^-1;(f×k);ρ

記号-*と*-は苦し紛れ、左乗法と右乗法を区別するため。このとき：

• i;j = i-*j = i*-j
• i;j = j;i （ケリー交換性）

が成立する。スカラーの上では、左乗法も右乗法も結合のことであり、その結合は可換。

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独立しているが、関連する話。Xを集合、Rを代数（多元環）として、f:X→R という部分写像があるとする。Xから自由生成された代数をR＜X＞とする。Xは加群の生成元として、Rは1の倍数としてR＜X＞に埋め込める。f^~:X→R＜X＞を次のように定義する。

• f(x)が定義されていれば、f^~(x) = f(x) ∈R⊆R＜X＞
• f(x)が定義されていないならば、f^~(x) = x ∈X⊆R＜X＞

xとf(x)を同一視する関係をR＜X＞に入れたものをR＜X＞_fと書く。Xがモノイドであるときは、fにf(xy) = f(x)f(y) を「片方が定義できるなら、もう一方も定義できて等しい」の意味で要求する。

モノイド圏の抽象スカラーは可換モノイドKとなるので、KからRへの部分写像fにより R＜X＞_fを定義できる。この代数は、圏全体の係数環として使える。