カウフマン流のテンパリー／リーブ圏とアルチン型定理
テンパリー／リーブ圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編あたりから、少しは理解が進んだ。書いておく。
2次元のn点（n紐）カウフマン図にループ数のカウントkを組にしたものを射とする圏Dを考える。初歩的な圏になるが、分断的かつ可逆（亜群）となる。D(n, n)は、{n点カウフマン図の全体}×N となるが、Dをカウフマン図の圏と呼ぶ（ループカウントも含めてカウフマン図と呼ぶと考えればよい）。ブレイドの圏とよく似ている。
圏Dの射を図示するときは、狭義カウフマン図に○を何個か加えて描くことにする。○の位置は問題にならない。D(0, 0)はアブラムスキーの意味でDの抽象スカラーであり、結合でモノイドになる。このスカラーモノイドは、D全体に作用する（ケリーのスカラー乗法）。実際には、D(0, 0)はNと同型。
Rを代数だとして、φ:D(0, 0)→R をモノイドの乗法的表現とする。D(0, 0)は単元生成なので、生成元○の像φ(○) = τ∈R が決まればよい。R係数でDから自由生成したR加群豊饒な圏R[D]を、φで貼り合わせた圏を作れる。そのとき、係数代数Rの作用は少しだけ変形される（まったく自由ではなくなる）。
こうして作った線形（R加群豊饒な）圏をカウフマン流のテンパリー／リーブ圏と呼び、KTL(R, τ)で示す。τはφ(○)である。KTL(R, τ)は図形的に定義されている。
一方、形式的なジョーンズ基底Hiから、組み合わせ的に定義されるテンパリー／リーブ圏もある。こちらは、ジョーンズ流のテンパリー／リーブ圏と呼び、JTL(R, τ)で示す。
KTL(R, τ)とJTL(R, τ)が同型であることは全然自明ではない。そこで、KTL(R, τ)とJTL(R, τ)の同型を具体的に構成する必要がある。この手続きは、図形的に定義されたブレイド群を、組み合わせ的に定義されたアルチン群の同型を示すのと似ている。テンパリー／リーブ圏に対するアルチン型の定理といえる。
他でも、図形的に構成された代数構造と組み合わせ的に構成された代数構造が同型（または同値）であることを主張することはアルチン型定理と呼んでいいだろう。
