二重トレース付き半環圏HTens

順序半環Kをベースにする（Kを圏に一般化できるだろうが）；二値ブール代数B、クリーネ代数Pow({a, b}*)、自然数の半環N、max-plus代数など。Kにはダガーもあって、ダガー半環だとしよう。どんな半環でも自明なダガー構造が入るから、この仮定は特に問題にはならない。

Fを有限集合全体の類として、J⊆Fをその有限部分類だとする。Jから直和で生成されたFの部分類をJ'とでもしておく。A, B∈J' ならば、A+B∈J' となる。二項直和だけでなく公平なn項直和を入れておいたほうが便利だろう。A₁, A₂, ..., A_n∈J' に対して、列 (A₁, A₂, ..., A_n)を、J上の多重インデックスと呼ぶ。

A = (A₁, A₂, ..., A_n)、B = (B₁, A₂, ..., B_m) に対して、A・B = (A₁, A₂, ..., A_n, B₁, A₂, ..., B_m)と連接で積を入れる。同じ長さの多重インデックスには成分ごとの和で和も入る。このようにしてJから作った多重インデックスの集合を、積と和も一緒に考えてI(J)とする。I(J)を単にIとも書く。A = (A₁, A₂, ..., A_n) に対して、|A| = A₁×A₂× ...×A_n と書く。

A, B∈Iに対して、|A|×|B|からKへの写像を、(A, B)型のK係数斉次形式テンソルと呼ぶ。(A, B)型のK係数斉次形式テンソルの全体を、係数半環K、インデックス集合の生成セットJを添えで、HTens_K,J(A, B) のように書く。J = {{}, {0}, {0, 1}, ...}のときはJを省略する。図示する場合は、カウフマンの抽象テンソル図式を使って描ける。

斉次テンソルの全体はかなり豊富な構造を持っている。

1. 双積
2. 双積に分配的なテンソル積
3. 転置行列によるスター構造（対象は自己双対）
4. 転置＋成分ごとのダガーによるダガー構造
5. コンパクト閉構造
6. 局所順序構造
7. 多圏構造
8. 2つのトレース