論理式、演繹系、セオリー

集合Lは、含意（⊃）と連言（∧）を持つ系の論理式全体の集合とする。K⊆Lが次の性質を持つとする。ここで、a, b, cなどは論理式、∧は⊃よりは優先度が強い演算子とする。

1. a∈Lに対して、a⊃a ∈K
2. a⊃b, b⊃c ∈K ならば a⊃c ∈K
3. a⊃b, a⊃c ∈K ならば a⊃b∧c ∈K

t∈Lをひとつ固定して、記法 a₁, ..., a_n|-b を次のように定義する。

• n = 0 のとき： |-b ⇔ t⊃b ∈K
• n = 1 のとき：a|-b ⇔ a⊃b ∈K
• n = 2 のとき：a₁, a₂|-b ⇔ a₁∧a₂⊃b ∈ K
• nがそれ以上：a₁, ..., a_n|-b ⇔ a₁∧...∧a_n⊃b ∈ K

それとは別に、集合T⊆Lを次のように定義する。

• a ∈T ⇔ t⊃a ∈K

Kがハッキリしているなら、Tもハッキリした存在だ。

Kに関する条件は、下界を持つ順序集合（実はプレ順序に過ぎない）の公理をゆるく（ぬるく）したものだ。b∧cの最大性は全然保証されない、存在だけは保証される状況。それでも、次は成立する。

1. t ∈T
2. a₁, ..., a_n∈T、a₁, ..., a_n|-b ならば、b ∈T

証明は定義の言い換えだから省略。

言いたいことは、次のような構造がほぼ同じだってこと。

1. ⊃と∧を持つ論理式において、ある性質を持つ部分集合K。
2. 演繹系
3. 演繹に対して閉じた集合であるセオリーT

論理とはなにか？ (3) - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)も参照。