結合律をお絵描き
- まず、平面をV字形に折ります。
- 折り目の直線に、下に延びる半平面（壁）を接着します。
- 絵を描きやすいように、V字を平らに近いくらいに拡げておきます。
- 別な平面を、3点α、β、γが交点になるように、上からグサッと突き立てます。
- 向こう側（点αのところ）、まん中へん（点βのところ）、手前側（点γのところ）で、包丁(?)を入れて図形をサクッと切ります。
3箇所の断面の絵（角度は再び鋭くなるように調整）は、結合律：(a+b)+c = a+b+c = a+(b+c) 。
さて、まだ続きがあります。[追記]床に書いてあるDAは、DBの間違い。ウーン、どこか間違うな、僕は。[/追記]
- 角度や長さなどは本質的ではないので、思い切ってV字形を平らにしました（描きやすいので）。
- 空間全体が平面／半平面により4つの部屋（領域）に区切られるので、それにA, B, C, Dと名前を付けます。床の下がAとD、床の上がBとC。
- 部屋Aと部屋Bを仕切る壁にはABという具合に、壁にも名前を付けます。壁は6面あります。
- 点βから出る4本の半直線（直線ではありません！）にも名前を付けます。部屋A, B, Cから見える（部屋Dからは見えない）線ならABCと名付けます。
念のため、向こう側、まん中へん、手前側の断面も描いてあります。
こうやって作った図形のポアンカレ双対を取ります。次のような対応：
- 部屋 ⇔ 頂点
- 2部屋を仕切る壁 ⇔ 2頂点を結ぶ辺
- 3部屋から見える半直線 ⇔ 3頂点からなる3角形の面
すると、4面体ABCDとなり、点βが4面体の内部領域に対応します。この4面体を一種の計算デバイスと考えます。
- 辺（双対的には壁）が入出力を行う。AB, BC, CDを入力、ADを出力に使う。
- 面（双対的には半直線）が処理を行う。
このとき、辺ACを内部入出力（計算の中継）に使った結果と辺BCを内部入出力に使った結果が等しいことを図示すると、結果的に矢印を使った (f;g);h = f;(g;h) の絵が再現します。これのポアンカレ双対を取れば、最初のツリー状の結合律の絵に戻ります。
