平面的フィードバック

等方的に堅い圏を考えると、ここでは普通のトレースは定義できない。しかし、ヤンキングを除いたトレース公理を満たす作用素であるフィードバックは定義できる。しかも左右のフィードバックが定義できる。

モノイド積を左から右、圏結合を上から下に図示するとして、

• 右フィードバック (A×Y→B×Y)|→(A→B)
• 左フィードバック (X×A→X×B)|→(A→B)

左右のフィードバックをL, Rで表すと：

• Rはフィードバックの公理を満たす。
• Lはフィードバックの公理を満たす。
• RとLは可換である。つまり、R^Y(L^X(f)) = L^X(R^Y(f))

平面的なので、X×A×Y のAに関してはフィードバックを取ることができない。右端か左端しかフィードバックを取れない。

2つのフィードバックR, Lを備えた圏はなんか意味があるか？