テンパリー／リーブ圏のスカラー

テンパリー／リーブ圏のスカラーのことを書いておく。

TL(0, 0)を、アブラムスキーは（抽象）スカラーと呼んでいる。スカラーは可換モノイド（可換性はケリーによる）になる。もし、圏がAb-豊饒なら可換環になることがわかる。

係数なしの純幾何学的には、TL(0, 0)の元は{◇ⁿ | n = 0, 1, 2, ...}と書ける。◇はループ（サークル）を表す。◇ⁿを(n)と書くことにすると、(0) = id₀。TL(0, 0)のもの凄く特殊な点は、結合と積（モノイド積／テンソル積）が一致していること。つまり、(n);(m) = (n + m)、(n)×(m) = (n + m)。結合と積が単一演算に退化しているので、スカラー環の乗法は結合とも積とも解釈できる。

kがスカラーのとき、f:X→Y とのスカラー乗法k・f を k×f:1×X→1×Yの前後を、λ'_X:X→1×Xとλ_Y:1×Y→Yではさむ形で定義していたような気がする。ジョーンズ基底U_iに関するU_i² = τU_iという関係は、スカラー乗法で説明できないかな？

係数なしTLのスカラーは、自然数の足し算モノイドになり、係数を入れると1変数の多項式環になる。不定元をXとすると、準同型f:R[X]→Rはf(X)∈Rで決まる。これが、ジョーンズ関係式で出てくる乗数τのような気がする。