遷移翻訳系の圏構造を考える
発見的な議論をしてみる。
Tが遷移翻訳系のとき、T⊆X×Σ#×Γ#×X としていいだろう。ここで：
- Xは状態空間
- Σ=(Σ1, ..., Σn)はマルチアルファベットで、Σ# = Σ1*× ... ×Σn*はΣ上のリボンの全体（全リボン集合）。
Σ#×Γ#をAと置いてみると、T⊆X×A×Xなので、通常のラベル付き遷移系とみなせる。Tを、XとA×Aの二項関係とみなすと、関係圏で T:X→A×X。関係はベキへの写像だから、集合圏で T:X→Pow(A×X)。Pow(A×-)は集合圏上の自己関手なので、Tは集合圏上の余代数となる。F=Pow(Σ#×Γ#×-)として、圏CoalgFを考えることができる。
圏CoalgFが、圏TD(Σ, Γ)と一致するので、TDは、圏で豊饒化（enrich）されているというよりは、余代数圏で豊饒化されている（→トランスデューサの圏論的解釈とか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編、Notion of Process - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編）。
TDをトレース付き圏と考えているとどうもうまくない。コンパクト閉圏にしたほうがいいだろう。そうすれば、TD(Σ, Γ)≒TD(1×Σ, Γ) ≒TD(1, Γ×Σ*) （ここでの上付きスターはクリーネ・スターではなくて、圏のdualizer）となって、翻訳系が遷移系に還元できる様が分かりやすくなる。
という次第で：
- 圏TDは、とりあえず2-圏と考える（後で二重圏構造も入れる）。
- 圏TDをコンパクト閉圏と考える。そのため、マルチアルファベットに極性と双対(-)*を入れる。
- homcat TD(Σ, Γ)を余代数の圏と考える。このとき、余代数の構造関手（指標関手）はΣとΓでパラメトライズされている。
- スター結合（横結合）は、終余代数にも適用できるはず。終余代数だけ取り出して圏が作れるってことか？
