二重圏から2-圏を作る手順

Mを射圏、Oを対象圏とする二重圏を考える。D0, D1:M→Oが境界関手（dom, codのこと）、I:O→Mが持ち上げ関手（idのこと）だとする。M[D0,O,D1]M = M[O]Mは、圏のファイバー積（バンドル積）を表す便宜的な記号。＊:M[O]M→Mが二重圏のスター結合（スター積、セルの横結合／水平結合）

(M, O) = (M, O, D0, D1, I, ＊)から2-圏を作ることができる。それをCとする。

• |C| = |O|
• A, B∈|C|に対して、C₀(A, B)⊆|M|
• A, B∈|C|に対して、C₁(A, B)⊆M
• C = Morph(C) は一切使わない。

ここで、C(A, B)を2-圏Cのhomcatだとして、C₀(A, B) = Obj(C(A, B)), C₁(A, B) = Morph(C(A, B))。

• C₀(A, B) = {X∈|M| | D0(X) = A, D1(X) = B}
• (C₁(A, B))(X, Y) = {f∈M | f:X→Y in M}

homcatは、Mの構造をほぼそのまま受け継いでいる。homecat内の射を2セルと見なして、f::X⇒Y:A→Y のように書いてよい。homcat内の結合（縦結合／垂直結合）は、Mの結合をそのまま使う。X:A→B、Y:B→Cの横結合／水平結合、f::X⇒X':A→Bとg::Y⇒Y7:B→Cの横結合／水平結合は、二重圏(M, O)のスター結合を使う。

この構成だと、対象圏Oの射は消えてしまう。もし、圏O×Oをbaseとするindexed categoryの構造を持つなら、二重圏を構成することができる。しかし、それがもとの二重圏を再現するかどうかはわからない。再現するには何らかの条件が必要だろう。