遷移変換系の具象的圏
具体的に遷移変換系を扱うために、記号法／用語法を固定したい。
TDを、遷移変換系の圏に対する固有名詞として使う。Σ、Γなどはマルチアルファベット（マルチラベル）で、Σ=(Σ1, ..., Σn)など。書くΣiはアトミック・ラベル（基本記号）の集合。Σの列としての長さは|Σ|と書く。|Σ| = 0 ⇔ Σは空列() である。圏TDのホムセットはTD(Σ, Γ)の形である。
S, T, Uなどで、圏TDの射＝遷移変換系を表す。ただし、遷移変換系が対象となる圏も当然に考えることになるが。以下、T∈TD(Σ, Γ)について；
まず、マルチアルファベットΣ=(Σ1, ..., Σn)に対して、Σ# = Σ1*× ... ×Σn*とする。上付きスターはクリーネ・スターで列を意味する。(Σ1)# = Σ1*、()# = 0* = {ε} = E。Σ#の元をマルチアルファベットΣのリボン、またはポートセットΣの（非同期）信号と呼ぶ。
遷移翻訳系Tは、集合Xと、X×Σ#×Γ#×Xの部分集合R（遷移規則）の組(X, R)である。(x, a, b, x')∈Rのことを、x-(a/b)→x' と書く。記号を簡略化するため、RをTと書き、Xを|T|と書く。すると、T⊆|T|×Σ#×Γ#×|T|。
マルチアルファベットΣからΓへの遷移翻訳系T = (|T|, T)に対して、反射的推移的閉包T*を次のように定義する；T(0)は、x-(ε/ε)→x の形の規則の全体。T(1) = T。T(2) は x-(a/b)→x'、x'-(c/d)→x'' に対して、x-(ac/bd)→x'' の形の規則の全体。そして、T* = T0∪T(1)∪T(2)∪… 。
T=(|T|, T)がΣ→Γの遷移翻訳系、U=(|U|, U)がΓ→Δの遷移翻訳系のとき、結合T＊Uを次のように定義する。|T＊U| = |T|×|U|。Tの規則x-(a/b)→x'に対してU*の規則y-(b/c)→y'があるとき、規則(x, y)-(a/c)→(x', y')があるとみなす。
マルチアルファベットΣ=(Σ1, ..., Σn)に対して、I=(|I|, I)を次のように定義する；|I| = {0}（単元）。0-(a/a)→0 （a∈Σ#）をすべて規則とする。
Σに対するI = IΣを恒等として、結合＊によりTDは圏になる。マルチアルファベットΣ、Γを固定したTD(Σ, Γ)は、状態空間の直和をモノイド積として、終状態、始状態のグルーイングを結合としてトレース付き圏となり、シミュレーションをセルとしておそらく2-圏となる。つまり、homsetが相当に複雑！
いろいろな性質
遷移翻訳系に関して、いくつかの性質を考える。
- 任意のx∈|T|、a∈Σ#に対して、x-(a/b)→x'という形の遷移規則が存在するとき、Tは完全（exact）と呼ぶ。完全な系は、どんな状態からのどんな入力列にもそれなりに反応する。完全でなければ、破綻の危険がある。
- 任意のx∈|T|、a∈Σ#に対して、x-(a/b)→x'という形の遷移規則がたかだか1個しか存在しないとき、Tは決定的と呼ぶ。決定的な系は、入力列に対する遷移の結果が（もし在るなら）一意的に定まる。
- x≠x'またはb≠εで、x-(ε/b)→x' という形の遷移規則を持つ系は自発的な系と呼ぶ。自発的な系では、外部刺激なしで、非自明な遷移が起こりえる。
- x≠x'またはa≠εで、x-(a/ε)→x' という形の遷移規則を持つ系は隠蔽的な系と呼ぶ。隠蔽的な系では、イベントとして観測できない非自明な遷移が起こりえる。
- 自発的でない系は因果的ともいう。自発的＝非因果的、動作主体の自由勝手が許される。
- 隠蔽的でない系は完全可視ともいう。隠蔽的＝不完全可視、何が起こっているか外部からはうかがい知れない（こともある）。
系の“わからなさ”
- 状態空間がわからない。
- 状態空間がわかっても、現在の状態がわからない。
- 現在の状態が計測的に観測可能かどうかわからない。
- 刺激に対してどう反応するか予測できない。
- 何もしなくても勝手に動く（変動、遷移する）かもしれない。
- 動いてもイベント（反応事象）が発生しないかもしれない。
- 現在の状態がわかっても、動作と反応が一意的ではない。
- 刺激によって系が壊れるかもしれない。
- 壊れているかどうか判断できないかもしれない。
どうやって“わからなさ”を減らすのか？
系の振る舞い（観測される行動）は、具体的な運動のたば（集合）となる。全然予測できないときは最大のタバになり、非常にシャープに予想できるときは単一の軌道からなる集合となる。運動が不可能（破綻した、ありえない）ときが空集合。
通常、シャープ（クリスプ）な予測はできない。確率的な予測もできない。できるのは、制限的予測、あるいは範囲的な予測。範囲的予測には集合（領域）的／位相的量（量＝範囲）を使うしかないような気もする。
結局、系はわからない。わからないままに残る。少しでも制限できれば、少しでも範囲をしぼれれば、それでよしとしよう。クリスプな予測は、所詮は理想論（イデアル）なのだ。
