モノイド二重圏

二重圏の定義としては、「“圏の圏Cat”のなかの圏対象（内部圏）」というのが一番スッキリしていると思う。だが、この定義だと、演算法則が露骨に表示されないので、具体性に乏しいし、実際の計算もやりにくい。それに巨大な（小さくない）二重圏の定義には不安がある。

それで、演算を具体的に書き下ろした初等的（1階述語論理ベースの）定義が欲しくなる。初等的定義は、例えば、ロベルト・ブルーニ、ウーゴ・モンタナリ（Roberto Bruni, Ugo Montanari）の"Cartesian Closed Double Categories, ..."（http://citeseer.ist.psu.edu/216729.html）にある、あまり形式的な定義ではないけど。

「圏の圏の圏対象」(苦笑)という定義と初等的定義は一長一短。だが、「圏の圏の圏対象」なら、イコールの代わりに圏同値を使えば、弱二重圏（あるいは疑二重圏かな）を定義できる。それと、「モノイド圏の圏の圏対象」としてモノイド二重圏（monoidal double categories）もすぐさま定義できる。

適当なアンビエント圏（それ自体が構造を持つ圏でもよい）のなかで、内部構造（internal structure）を考えるのはうまい方法だ。ひょっとして、ステファネスクのMIX代数は、「トレース付き圏の圏の“トレース付き圏”対象」とか「モノイド二重圏の圏の“トレース付き圏”対象」とかにならないかな？

境界付きグラフの圏、リグラフ（rigraph）の圏はモノイド二重圏だし、遷移翻訳系（トランスデューサ）の圏は、モノイド二重圏にさらに別なモノイド構造とトレースが加わった構造になっている。モノイド積が2つあれば、半環圏（semiringal categories）も自然に出てくるだろう、たぶん。