コゥゼン圏（Kozen圏）とクリーネ圏（Kleene圏）
デカルト圏の理解が少し進んだので、ここでメモ：
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(∇, η)が代数（モノイド圏上のglobal monoid structure）、(Δ, ε)が余代数のとき、Δが(∇, η)-半加法的になっていることを具体的に書いてみると、□=∇;Δ となる。εに関しては、Δ;ε = (ε×ε);δ'が出てくる。つまり、ベスパロフ式の双代数条件は、通常の「余代数演算が代数射」と同じ条件である。「(Δ, ε)が代数射」は分かりやすいが、ベスパロフ式のほうが対称性があってよいと思う。
さて、(∇, η)（僕はηよりθを使っていた）と(Δ, ε)（僕はεより!を使っていた）が同じモノイド圏上で双代数を定めるとき、任意の射に対して加法性／余加法性（複製法則）、単位性／余単位性（破棄法則）を要求すると、その圏は双デカルトになる。双デカルトは、デカルトかつ余デカルトだけではなくて、双代数法則（代数-余代数の協調法則）が必要になる。
双デカルト圏は必然的に、アーベル（可換）モノイドの圏をAbMonとしてのAbMon圏になる。ベキ等性 Δ;∇ = 1 を持てば、必然的にジョイン半束を経由して（局所）順序圏となる。双デカルト圏のモノイド積は、実は双積だから、双デカルトなら、「AbMonでエンリッチ（豊饒化）された零対象／双積付きの圏」となる。
加法圏が、「零対象と双積を持つAb圏」であることから、「零対象と双積を持つAbMon圏」は半加法圏と呼んでよいだろう。半加法圏では、End(A)が必ず（0も1もある）半環となる。ケリーの結果を使うと、特にEnd(1)は可換半環である。
ここまで分かると、コゥゼン圏と半加法的クリーネ圏の違いは、スター帰納法「a;x≦x⇒a*;x≦x、x;b≦x⇒x;b*≦x」が使えるかどうかだけのような気がする。一様性原理「a;x = x;b ⇒a*;x = x;b*」 との関係がハッキリすると、一様性原理が成立するコゥゼン圏が半加法的クリーネ圏に一致するかもしれない。
すべての射が厳密射（酵素射）であるような圏を全一様圏（totally uniform; 厳密圏はマズイ用語になるから）と呼ぶことにする。すると：
- 全一様コゥゼン圏と半加法的クリーネ圏は同じ
じゃなかろうか？ ？？
