Exotic Semirings

トロピカル関係：

台集合	加法	乗法	名称
N∪{+∞}	min	+	tropical半環
N∪{-∞}	max	+	polar半環
N∪{+∞}	min	max	fuzzy半環
R∪{+∞}	min	+	optimization代数
R∪{-∞}	max	+	schedule代数, max-plus代数

熱帯(tropical)と極地(polar)ですか。なるほどEXOTIC。max-plusはトロピカルじゃなくてポーラーのほうか。実数ベースだとoptimizationが正式のようだが、こっちもトロピカルと言うことも多いな。実際、トロピカル（代数）幾何は、実空間の図形をトロピカル半環（半体になっている）上の多項式のイデアル論（半イデアル論か？）で扱うようなものだ。

ところで、マスロフが、R₊上に正数hに対するh加法を：

• (a^1/h + b^1/h)^h

で定義している。hが0に近づくと、これはmax(a, b)に近づく。このh加法（h=0でもよい）と普通の乗法で半環R₊(h)ができる。

一方、1＜t≦∞ に対して、R上に：

• log_t(t^a + t^b)

として“[t]加法”を定義して、乗法を普通の加法だとする半環R[t]も定義できる。R₊(h)とR[t]は、t = exp(1/h) の関係で移りあう。

このへんが、アメーバ理論や超離散と関係するらしい。超離散とからむってことは可積分系だろうから、やっぱり物理なんだろうな、あー、物理はわからん。