Δと∇と□

双デカルト・モノイド圏において、Δ_Xを単にΔ、id_Xを1と略記して、f∨g = Δ;(f+g);∇ と定義する。このとき、f∨f = f、1∨1 = 1、Δ;∇ = 1 は同値になる。これがベキ等性。

□ = ∇;Δ と定義する。□を完全行列と呼ぶ。理由は、完全グラフに対応する行列で、すべての成分が1になるからだ。ベキ等であっても、□は1にはならない。(f∨g)* は、Tr(∇(Δ;(f+g);∇)Δ)と書けるから、Tr(□;(f+g);□)である。f @ g = □;(f+g);□ とすると、演算@は役に立つだろうか？ とりあえず (f∨g)* = Tr(f @ g) は（定義より）成立する。

ソフトウェア的には、f @ g は、fとgを分離的に並列結合して、その入出力を混ぜてしまう演算だ。