IAM-enrichementとCat上のモナド

Idempotent Abelian MonoidをIAMと略記して、IAMの圏も同じくIAMと書く。IAMは最小元付きのjoin semi-latticeの圏と圏同値。だから、必要に応じて順序構造を入れられる。

さて、圏Cに対して、自由なIAM-enriched圏を作る。それをD=IAM[C]と書くと：

1. |D| = |C|
2. D(X, Y) = Powf(C(X, Y)) （Powfは有限ベキ集合）
3. {f1, .., fn}∈D(X, Y), {g1, ..., gm}∈D(Y, Z)に対して、f;g = {fi;fj | i=1, ..., n, j = 1, ..., m}
4. id_X in D = {id_X in C}

各hom-set D(X, Y)は、{}を単位元として∪をモノイド演算とするIAM構造が入る。特に、End(X) = D(X, X)には結合を乗法として半環構造が入る。各hom-IAM D(X, Y)は2つの半環End(X), End(Y)の両側半加群となる。

C|→IAM[C]という構成を、Cat→Catの関手と考えると、（要確認だが）モナドになっているだろう。モナド単位はC⊆IAM[C]という自然な包含。IAM[IAM[C]]→IAM[C]は、hom-setごとのPowfのモナド乗法を使う。

このケースでは、Powfのモナド性が持ち上がるだけのことだが、Circ構成、Int構成などもモナドのような気がする。Cat上のモナドはもっと意識して探したほうがいいようだ。