ISRの圏
ベキ等半環(idempotent semiring; ISR)の圏が面白い気がしてきた。
ISRは環に近いので、(非可換)環論の技法が(ある程度)使える。ブール代数(可換)とクリーニ代数(クリーネ代数)(非可換)はISRの例となる。Aが集合のとき、Powf(A*)はISRになる;A*は有限列で、Powfは有限ベキ集合である。Powf((-)*)はモナドである。
F(A) = Powf(A*)として関手F:Set→ISRが定義できる。これは自由生成関手だから、忘却関手U:ISR→Setと随伴となる。ISRの始対象はブール代数2(as ISR)で、終対象は自明代数である。環論的テンソル積A(×)Bが定義できるだろう。そしておそらく、F(A+B)=F(A)(×)F(B)だろう。R = F(A)のとき、イデアル論的にAを再現できそうだ。
ISRが理解できたら(まだ理解できてないけど)、次はISR上の半加群が問題だ。ISRは一般に非可換だから、右加群と左加群を区別する必要がある。可換のケースでも、左右の区別は重要で、R左S右の両側半加群を考える実際的な理由がある。