ISRの圏

ベキ等半環（idempotent semiring; ISR）の圏が面白い気がしてきた。

ISRは環に近いので、（非可換）環論の技法が（ある程度）使える。ブール代数（可換）とクリーニ代数（クリーネ代数）（非可換）はISRの例となる。Aが集合のとき、Powf(A*)はISRになる；A*は有限列で、Powfは有限ベキ集合である。Powf((-)*)はモナドである。

F(A) = Powf(A*)として関手F:Set→ISRが定義できる。これは自由生成関手だから、忘却関手U:ISR→Setと随伴となる。ISRの始対象はブール代数2（as ISR）で、終対象は自明代数である。環論的テンソル積A(×)Bが定義できるだろう。そしておそらく、F(A+B)=F(A)(×)F(B)だろう。R = F(A)のとき、イデアル論的にAを再現できそうだ。

ISRが理解できたら（まだ理解できてないけど）、次はISR上の半加群が問題だ。ISRは一般に非可換だから、右加群と左加群を区別する必要がある。可換のケースでも、左右の区別は重要で、R左S右の両側半加群を考える実際的な理由がある。