圏とloopingオペレータのまとめ

対角自然（dinatural）で対角性（diagonal property;ダブルダガー公式）を持つ不動点をConwayオペレータ、Conwayオペレータを持つ圏をConway圏と呼ぶ。同様に、適当な公理（Cazanescu/Stefanescu；カザネスク／ステファネスク）を満たすElgotオペレータを持つ圏をElgot圏と呼ぶ（Elgotオートマトンの圏はおそらくElgot圏だろう）。

Kleeneスターを持つ双デカルト圏をKleene圏と呼んでしまうのは、既存のKleene圏の定義（Kahl/木下）があるからまずいので、概Kleene圏としておく。

以上の用語法でまとめると：

圏の名称	ベースとなる圏	loopingオペレータ	スカラー代数
Conway圏	デカルト・モノイド圏	Conwayダガー、不動点	Conway代数
Elgot圏	余デカルト・モノイド圏	Elgotダガー、反復	?
概Kleene圏	双デカルト・モノイド圏	Kleeneスター、繰り返し	Kleene代数

ベクトル空間とテンソル積の圏は、このどれとも違うし、コンパクト閉圏（内積が入ればダガー・コンパクト閉圏）になっている。

形式言語理論（as 0+1次元 xQFT）が値をとる圏は、おそらく“トレース付きベキ等デカルト・モノイド圏”ということだろう。双デカルトになっていれば行列計算ができる。あとは、文字列のreverse、関係のconverse、極性（あるいは荷電）との関係とかが問題だな。

KleeneQFTと呼ぶべきものは、余デカルト・モノイダルなトレース付き二圏（0+1コボルディズム圏）を定義域として、デカルト・モノイダルなトレース付き圏に値をとると思われる。値が双デカルトなら行列計算ができるし、さらに条件があれば、行列の共役も取れる（ダガー・コンパクト閉圏に似た状況）のだろう。