Notion of Process

"Categories of Processes Enriched in Final Coalgebras"（http://citeseer.ist.psu.edu/411633.html）から。

C=(C, ×, I)がモノイド圏だとして、C上(over C)のnotion of processとは：

• 三項の関手T:C×C^op×C→C
• extranaturalな族 i_A : I→T(I, A, A)
• extranaturalな族 c_X,Y,A,B,C : T(X, A, B)×T(Y, B, C)→T(X×Y, A, C)

具体例は、T(X, A, B) = [A×X, B×X]（[-, -]は内部hom）。満たすべき条件（公理）は：

 T(X, A, B)×I -[id×i_B]→T(X, A, B)×T(I, B, B) 

     -[c]→ T(X×I, A, B)

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 T(X, A, B)×I =→ T(X×I, A, B)
 I×T(Y, A, B) -[i_A×id]→ T(I, A, A)×T(Y, A, B)

    -[c]→ T(I×Y, A, B)

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 I×T(Y, A, B) =→ T(I×Y, A, B)
 T(X, A, B)×T(Y, B, C)×T(Z, C, D) -[c×id]→T(X×Y, A, C)×T(Z, C, D)

    -[c]→T(X×Y×Z, A, D)

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 T(X, A, B)×T(Y, B, C)×T(Z, C, D) -[id×c]→T(X, A, B)×T(Y×Z, B, D)

    -[c]→T(X×Y×Z, A, D)

T(X, A, B)は、Xがプロセスの内部空間（状態、ストレージなど）、Aが入力、Bが出力であるプロセスの全体（を対象と見なしたモノ）。i_Aは任意のデータ型Aに対して、内部空間I（自明空間）としてAの恒等を対応させる。c_X,Y,A,B,Cは、A→C(内部空間X）とB→C（内部空間Y）を順次合成する操作。

この定義では、Cが閉モノイダルだとか自分自身でenrichされているとか言ってないが、事実上内部homを持っている状況を想定しているようだ。高階対象を考えるときは自然な仮定だが。

Tが、（Cではなくて）他のモノイド圏Dに値をとるケースを考えるとどうなるだろう。なんか、Circ-Kleisli構成と似た状況のような気がするぞ。