モナドとモノイドの続き
昨日：
実際、モナドはとある圏のモノイドになっている。
そうなることを追いかけておく（概略）。
Cが圏だとして(C, *, I)がモノイド圏（monoidal cat.）とは：
- -*-:C×C → C は2項関手
- I∈|C|は特定の対象
- 結合律と単位律が成立する。
イコール記号をいくつか並べてある横線は、上側と下側がほぼ等しい（ってイイカゲンな言い方だこと）を意味する：
/* 関手としてのCは、id_Cのこと、
* 関手としてのIは、自明な圏{-}からのIを値とする定数関手
*/(C×C)×C -[(-*-)×C]→C×C -[-*-]→C
====================================== 結合律
C×(C×C) -[C×(-*-)]→C×C -[-*-]→CC×{-} -[C×I]→ C×C -[-*-]→C // {-}は自明な圏
================================ 単位律1
C -=→ C (identity){-}×C -[I×C]→ C×C -[-*-]→C
================================ 単位律2
C -=→ C (identity)
例：(Set, ×(直積), {0})はモノイド圏。(Kベクトル空間, (×)(テンソル積), K)はモノイド圏。
(C, *, I)がモノイド圏のとき、(X, μ, η)が(C, *, I)におけるモノイドだとは：
- XはCの対象
- μ:X*X → X はCの射
- η:I → X はCの射
- 結合律と単位律が成立する。
/* 関手としてのXは、id_Xのこと */(X*X)*X -[μ*X]→X*X -[μ]→X
=============================== 結合律
X*(X*X) -[X*μ]→X*X -[μ]→XX*I -[X*η]→ X*X -[μ]→X
=========================== 単位律1
X -=→ X (identity)I*X -[η*X]→ X*X -[μ]→X
=========================== 単位律2
X -=→ X (identity)
例：普通のモノイドは、(Set, ×(直積), {0})におけるモノイド。K代数（多元環）は、(Kベクトル空間, (×)(テンソル積), K)におけるモノイド。
モノイド圏End(C)
Cは圏だとして、新しい圏Dを次のように定義する。
| D | = Functor(C, C)。よって、F, G:C→Cなどは対象。α::F→G:C→Cなる自然変換が圏Dの射。α::F→G:C→C, β::G→H:C→Cの結合は、普通の自然変換結合α;β::F→H:C→D。 |
A -[f]→ B
α::F→G ------------
F(A)-[F(f)]→F(B)
| |
[α_A] [α_B]
v v
G(A)-[G(f)]→G(B)A -[f]→ B
β::G→H ------------
G(A)-[G(f)]→G(B)
| |
[β_A] [β_B]
v v
H(A)-[H(f)]→H(B)それで：
(α;β)_A = α_A;β_(A)::F→H:C→C
ここで、FとG:C→Cの結合F;Gを、混乱を避けるためにF*Gという記号に変える（α;βはそのまま使う）。Iは恒等関手id_Cのことだとすると、I∈|D|である。
さて、Dの対象（Cの自己関手）に既に定義されている*（もとは;と書いていた）を、Dの射（自然変換）にも定義する。α::F→F'、β::G→G' だとして、α*β::F*G→F'*G' を次のように定義する。
A -[f]→ B
α:: F→F' ---------------
F(A)-[F(f)]→F(B)
| |
[α_A] [α_B]
v v
F'(A)-[F'(f)]→F'(B)上の四角図式をGで移す：
G(F(A))-[G(F(f))]→G(F(B))
| |
[G(α_A)] [G(α_B)]
v v
G(F'(A))-[G(F'(f))]→G(F'(B))それとは別に：
F'(A) -[F'(f)]→ F'(B)
β::G→G'------------------------
G(F'(A))-[G(F'(f))]→G(F'(B))
| |
[β_F'(A)] [β_F'(B)]
v v
G'(F'(A))-[G'(F'(f))]→G'(F'(B))それで：
(α*β)_A = G(α_A);β_F'(A)
α*β::F*G → F'*G':C→C
α*βが再び自然変換になることは、可換性の伝搬を追えばわかる（*は自然変換の横結合である）。(D, *, I)がモノイド圏であることはルーチンワーク（けっこうな手間）で確認できる。Dは、Cの自己関手を対象とする圏なのでEnd(C)と書くことにする（End(C) = |D|なので適切じゃないけど）。End(C)の射は自然変換で、通常の自然変換の結合（縦結合）以外に、演算*が定義されている。
モノイド圏(End(C), *, I)におけるモノイドとは、F∈|End(C)|とη:I→F、μ:F*F→Fの組である。Cで考えればFは自己関手、ηはI=id_CからFへの自然変換だから、A→F(X)の族（Aがインデックス）、μはF(F(A))→F(A)の族である。結合律と単位律を、モノイド圏(End(C), *, I)のなかで書き下すと、モナド結合律とモナド単位律になる。
したがって、C上のモナドは、モノイド圏End(C)のモノイドである。一番お馴染みのモノイド圏Setのモノイド（＝普通のモノイド）とモナドは、基礎圏が違うだけで形式的定義は同じとなる。
