多圏とカット

多圏の定義には、結合であるカットが単一（単純）カット（single/simple cut）と複合カット（multicut）のバージョンがある。

multicutができるときは、f:Γ→Δ1,Θ,Δ2 g:Γ1,Θ,Γ2→Δに対して、cutは、f;_Θg:Γ1,Γ,Γ2 → Δ1,Δ,Δ2 となる。|Θ|≧1の条件が付くが、これを|Θ|=1のしたのがsinglecutの多圏。

多圏では、原子対象Aに対するidentityはあるが、列Γ=(A1, ..., An)に対するidentityはない。これが不便だが、定義に追加していいときもあるだろう。交替律f;_Xg;_Yh = f;_Yh;_Xgも定義に入っていたりいなかったり、、、（多圏は人気がない）

僕としては、基本命題集合（アルファベット）に順序があるとき（アルファベットがDAGのとき）、それを元にした推論ができればいい。A⇒Aだけでなくて、Γ⇒Γも公理に入れていいかもしれない。必要な推論規則は：

  （A≦B）

  ---------[preorder]

    A⇒B
  （|Γ|≧1)

  ----------[multi-id]

    Γ⇒Γ
  Γ⇒Δ  Φ⇒Ψ

  ----------------[monoidal product/sum]

   Γ,Φ⇒Δ,Ψ
  Γ⇒Δ1,Θ,Δ2  Γ1,Θ,Γ2⇒Δ（|Θ|≧1）

  ----------------------------------------[multicut composition]

       Γ1,Γ,Γ2⇒Δ1,Δ,Δ2 
    Γ⇒Δ （σ,τは対称作用）

  -----------------------------[symmetry]

  σΓ⇒τΔ
  Γ1,Θ,Γ2⇒Δ1,Θ,Δ2（|Θ|≧0）

  ---------------------------------[generalized trace]

  Γ1,Γ2⇒Δ1,Δ2

回路グラフ

境界付き有向グラフは、グラフGの次数1の頂点部分集合dGが指定されたもの。つまり、(G, dG)、dG⊆Node(G)、x∈dG⇒ord(x) = 1。もとになるグラフGには、ループ、並行辺、サイクル、サークル（頂点なしのサイクル）なども認める。

回路グラフGは、境界付きグラフで、境界がdom(G)とcod(G)に分割されていて、dom(G)もcod(G)も全順序が付いている。より一般的に、すべてのノードに対してその出る辺と入る辺に全順序（番号）が付いている。

Σがアリティ／コアリティともに自然数になっている指標とすると、Σラベル付き回路グラフが定義できる。Σにソートがあれば、ソート列でアリティ／コアリティを定義して、辺にソートを与えたΣラベル付き回路グラフも定義できる。

極性を与えれば、Σラベル付き回路グラフの全体がコンパクト閉圏になることは容易にわかる。

トゥラエフのTQFT公理

トゥラエフ移動のトゥラエフ（Turaev）はTQFTの公理化もやっている。→http://www.numdam.org/numdam-bin/recherche?h=nc&id=AFST_1994_6_3_1_135_0&format=complete

Turaev, Vladimir G. "Axioms for topological quantum field theories."

• ベース圏として位相空間の圏Cがある。
• space-structureという関手:C→Setがある。
• space-structure関手で、Cの和に対してSetの積が対応する。空に対して一点集合が対応する。
• さまざまなspace-structureが考えられる。
• Xのspace-structure A(X)の一点aを指定した(X, a)が構造付き空間である。A構造付き空間の圏ができる。
• A(X)にはinvolution(-)*があり、(X, a*)を-Xと書く。*は恒等でもよい。
• 2つのspace-structure関手に関して、コボルディズム圏を考える。
• 直和（disjoint union）、貼り合わせ（gluing）、反転に関して適切に振る舞うアーベル圏に値をとる関手を考える。

対称モノイド圏のシーケント計算

白旗さんの論文をもとにする。Compact Multiplicative Linear Logicのシーケント計算から、否定（極性）を除くと次のようになる。

Σをアルファベット（基礎記号集合）として、式（formula）は次のように定義する。

1. Σの元
2. I（IはΣに入らない）
3. (式+式) （括弧は適宜省略）

A, Bなどは式だとして、式の列をΓ, Δなど。Γ⇒Δがシーケント。公理は：

1. a∈Σとして、a⇒a
2. ⇒I

構造的推論規則、式の量は変わらない。

  Γ,A,B,Δ⇒Φ

  --------------[換 左; exchange left]

  Γ,B,A,Δ⇒Φ
  Γ⇒Δ,A,B,Φ

  --------------[換 右; exchange right]

  Γ⇒Δ,B,A,Φ
  Γ⇒Δ  Φ⇒Ψ

  ----------------[混合; mix]

  Γ,Φ⇒Δ,Ψ

導入規則、式（部分式も含める）の量は変わらず論理記号（+, I）が増える。

  Γ,A,B,Δ⇒Φ

  --------------[+導入 左]

  Γ,A+B,Δ⇒Φ
  Γ⇒Δ,A,B,Φ

  --------------[+導入 右]

  Γ⇒Δ,A+B,Φ
  Γ⇒Δ

  ----------[I導入; unit weakening]

  I,Γ⇒Δ

カットは式が減る。

  Γ⇒Δ,A  A,Φ⇒Ψ

  ------------------[切断; cut]

  Γ,Φ⇒Δ,Ψ

対称モノイド圏とは次の関係がある。

シーケント計算	対称モノイド圏
+	対象のモノイド積
I	モノイド単位
公理	恒等射
換	対称ブレイディング
混合	射のモノイド積（と対称）
切断	（部分的な）結合

コンパクト閉圏では次が追加される。

• Aが式ならA*も式である。

  Γ⇒A,Δ

  ----------[*導入 左]

  A*,Γ⇒Δ
  Γ,A⇒Δ

  ----------[*導入 右]

  Γ⇒Δ,A*