統計的決定論

吉田朋広『数理統計学』は異例に厳密に書かれた良い本だが、それでも、関数結合と汎関数適用がゴッチャになっていたりする。

統計的決定論を圏Stoch内で展開するために、少し記法を変える。'→'はStochの射、'→!'はクリスプ（フリスクじゃない）射。

吉田本	ここ
X	X
Θ	Θ
D	A
P	P:Θ→X
W	L:Θ×A→!R≧0
δ	φ:X→A
Δ	Φ⊆Stoch(X, A)
R(θ, δ)	R(θ)[φ]:Θ×Φ→!R≧0

危険関数Rは、実は危険汎関数なのでブラケット引数を使う。

• R(θ)[φ] := ∫_X(∫_AL(θ, a)φ(x, da))P(θ, dx) = ∫_X×ΘL(θ, a)φ(x, da)P(θ, dx)

パラメータの特定値θにおいて、決定関数（決定関係）の損失評価が危険度R(θ)[φ]。

危険度により順序付けたプレ順序関係が、,

• φ φ' :⇔ ∀θ∈Θ.(R(θ)[φ] ≦ R(θ)[φ'] )
• φ φ' :⇔ ∀θ∈Θ.(R(θ)[φ] ≦ R(θ)[φ'] )∧∃α∈θ.(R(α)[φ] < R(α)[φ']

そして、

• φはφ'と比べて同程度に良い :⇔ φ φ'
• φはφ'と比べて一様に良い :⇔ φ φ'

は順序関係ではないので、が、と≠で決まったりはしない。

φがΦのなかで許容できるとは、

• ¬∃ψ∈Φ.(ψ φ)

あるいは、

• ∀ψ∈Φ.(¬(ψ φ))

¬(ψ φ) から、φ ψ が言えるわけではない。良し悪しはパラメータに依存する。パラメータに依存しないで言えることが , 。