ラプラシアンあれこれ

• 古典的なラプラシアン＝スカラー・ラプラシアン＝Δ⁰
• ベクトル解析では、Δ⁰を dev grad で表現する。
• uを未知関数として Δ⁰u = f はポアソン方程式という → https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
• 古典的なラプラス方程式 Δ⁰u = 0 はしたがって、右辺が0であるポアソン方程式。
• ラプラス方程式＝斉次ポアソン方程式
• Δ¹をヘルムホルツ作用素〈Helmholts operator〉ともいう。一般化ラプラシアン（広義のラプラシアン）の特殊例がヘルムホルツ作用素で、狭義の（古典的）ラプラシアンとは次元違いの兄弟になる。
• Δ¹v = 0 はヘルムホルツ方程式。スカラー場の古典的ラプラス方程式のベクトル場バージョンになる。実際は、微分形式に対する方程式だけど。
• Δ⁰をスカラー・ラプラシアンと呼ぶのに対して、Δ¹はベクトル・ラプラシアンとも呼ぶ。
• 一般化ラプラシアンは、ラプラス／ベルトラミ作用素とかホッジ・ラプラシアンとも呼ぶ。

ところで、外微分作用素の随伴（双対ではない！）をベルトラミ作用素と呼ぶことにしたので、ド・ラーム複体の随伴複体（双対複体ではない！）をベルトラミ複体と呼んでもいいような気がしてきた。

一般化ラプラシアンをラプラス／ベルトラミと呼ぶのは、ベルトラミ作用素を使って定義するからだ、とこじつけることができる（語源的には嘘だけど）。

一般化ラプラシアンは、いっそラプラス／ベルトラミ／ホッジ作用素と呼べば、関係者の皆さんに公平かも。ただ、ホッジ作用素ってホッジ・スターのことだから、混乱するか？