ラプラシアンなしのホッジ分解

普通の記法	使う記法
∂	B
d	D
δ	A
Δ	L

呼び名：

• ∂, B ： 境界作用素、バンダリ作用素
• d, D ： 余境界作用素、コバンダリ作用素、外微分(作用素)?
• δ, A ： 余微分(作用素)?、ベルトラミ(微分)?作用素
• Δ, L ： ラプラス作用素、ラプラス／ベルトラミ作用素、ラプラシアン

ラプラシアンを、dδ + δd の形に書いたものは、ホッジ流のラプラシアンと呼ぶこともあるらしい。ホッジ・スター'*'を使うと、符号±を除いて δ = *d* と書ける。

• ラプラシアンΔは、陽な座標がなくとも、ベルトラミ作用素δがあれば、ホッジ・スタイルで書ける。
• δはdとホッジ・スターで書ける。しかし、ホッジ・スターがなくても、微分形式の空間に内積が入っているなら、内積を使ったdの随伴作用素としてδを定義できる。
• よって、内積があればホッジ・スターがなくてもベルトラミ作用素（余微分作用素）を定義できる。
• ベルトラミ作用素があれば、ラプラシアンが定義できて調和形式も定義できる。
• しかし、調和形式の定義には、ラプラシアンも不要で、コサイクル空間＝外微分作用素の核と随伴コサイクル空間＝ベルトラミ作用素の核 との共通部分を取ればいい。
• ホッジ分解は、コサイクル空間、随伴コサイクル空間、コバンダリ空間、随伴コバンダリ空間があれば構成できる。
• ホッジ分解により、調和形式の空間（＝コサイクルかつ随伴コサイクルの空間）はコホモロジー空間と同型になる。

伝統的用語法との対応

伝統	使う
微分形式	形式、フォーム、コチェーン
閉(微分)?形式	コサイクル
完全(微分)?形式	コバンダリ
余閉(微分)?形式	随伴コサイクル
余完全(微分)?形式	随伴コバンダリ
調和(微分)?形式	調和形式

記法

• (C_●, B_●) チェーン複体、番号付けは、B_k:C_k→C_k-1
• (Ω^●, D^●) コチェーン複体＝形式余複体、番号付けは、D^k:Ω^k→Ω^k+1
• (Ω_●, A_●) 随伴形式複体、番号付けは、A_k:Ω^k→Ω^k-1
• D = B^* 星は双対を表す。
• A = D^† ダガーは随伴を表す。随伴空間という概念は事実上なくて（V^† = V）、随伴写像の概念がある。
• チェーン複体に関するホモロジー、コチェーン複体（＝ド・ラーム複体）に関するコホモロジー、随伴形式複体に関するホモロジーが取れる。

複体の整理：

名前	ベクトル	微分	微分の方向
チェーン複体	チェーン	境界作用素	次数下降
ド・ラーム複体	形式	外微分作用素	次数上昇
随伴ド・ラーム複体	形式	ベルトラミ作用素	次数下降

代数的複体の操作

• ℓ/2 での次数反転 B_k = A_{n - k}
• ℓだけの次数シフト B_k = A_{k + ℓ}
• 双対複体 B_k = (A_k)^*
• 随伴複体 B_k = (A_k)^†