このブログは、旧・はてなダイアリー「檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編」(http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/)のデータを移行・保存したものであり、今後(2019年1月以降)更新の予定はありません。

今後の更新は、新しいブログ http://m-hiyama-memo.hatenablog.com/ で行います。

ラプラシアンなしのホッジ分解

普通の記法 使う記法
B
d D
δ A
Δ L

呼び名:

ラプラシアンを、dδ + δd の形に書いたものは、ホッジ流のラプラシアンと呼ぶこともあるらしい。ホッジ・スター'*'を使うと、符号±を除いて δ = *d* と書ける。

  • ラプラシアンΔは、陽な座標がなくとも、ベルトラミ作用素δがあれば、ホッジ・スタイルで書ける。
  • δはdとホッジ・スターで書ける。しかし、ホッジ・スターがなくても、微分形式の空間に内積が入っているなら、内積を使ったdの随伴作用素としてδを定義できる。
  • よって、内積があればホッジ・スターがなくてもベルトラミ作用素(余微分作用素)を定義できる。
  • ベルトラミ作用素があれば、ラプラシアンが定義できて調和形式も定義できる。
  • しかし、調和形式の定義には、ラプラシアンも不要で、コサイクル空間=外微分作用素の核と随伴コサイクル空間=ベルトラミ作用素の核 との共通部分を取ればいい。
  • ホッジ分解は、コサイクル空間、随伴コサイクル空間、コバンダリ空間、随伴コバンダリ空間があれば構成できる。
  • ホッジ分解により、調和形式の空間(=コサイクルかつ随伴コサイクルの空間)はコホモロジー空間と同型になる。

伝統的用語法との対応

伝統 使う
微分形式 形式、フォーム、コチェーン
閉(微分)?形式 コサイクル
完全(微分)?形式 コバンダリ
余閉(微分)?形式 随伴コサイクル
余完全(微分)?形式 随伴コバンダリ
調和(微分)?形式 調和形式

記法

  • (C, B) チェーン複体、番号付けは、Bk:Ck→Ck-1
  • , D) コチェーン複体=形式余複体、番号付けは、Dkk→Ωk+1
  • , A) 随伴形式複体、番号付けは、Akk→Ωk-1
  • D = B* 星は双対を表す。
  • A = D ダガーは随伴を表す。随伴空間という概念は事実上なくて(V = V)、随伴写像の概念がある。
  • チェーン複体に関するホモロジー、コチェーン複体(=ド・ラーム複体)に関するコホモロジー、随伴形式複体に関するホモロジーが取れる。

複体の整理:

名前 ベクトル 微分 微分の方向
チェーン複体 チェーン 境界作用素 次数下降
ド・ラーム複体 形式 微分作用素 次数上昇
随伴ド・ラーム複体 形式 ベルトラミ作用素 次数下降

代数的複体の操作

  • ℓ/2 での次数反転 Bk = An - k
  • ℓだけの次数シフト Bk = Ak + ℓ
  • 双対複体 Bk = (Ak)*
  • 随伴複体 Bk = (Ak)