ドクトリンとコンピュータッドの融合

代数系の種類という意味でドクトリンを使うとして、ドクトリンの事例には次のようなものがある。

1. mon モノイド
2. grp 群
3. cat 圏
4. mon-cat モノイド圏
5. symm-mon-cat 対称モノイド圏
6. br-mon-cat ブレイド付きモノイド圏
7. str-2-cat 厳密2-圏

これらのドクトリン（種類）が定義する（あるいは、ドクトリンに属する）代数系（モノ）の全体は圏をなすが、その圏をドクトリンの外延圏、または単に外延と呼ぶ。

1. Mon
2. Grp
3. MonCat
4. SymmMonCat
5. BrMonCat
6. Str2Cat

外延圏の次元を、もとのドクトリンの次元とする。mon, grpは1-ドクトリン、catは2-ドクトリン、mon-cat, symm-mon-cat, br-mon-catは2-ドクトリンだが、3-ドクトリンの特殊なものともみなせる。str-2-catは3-ドクトリンになる。

ドクトリンには、そのドクトリン固有の箙と指標の概念がある。また、ドクトリンの下位ドクトリンの集合があり、その下位ドクトリン達は階層化（順序構造に編成）されている。箙や指標の概念は、下位ドクトリンの階層構造に沿って（帰納的に）定義される。

ドクトリンは単独で存在するものではなくて、下位ドクトリンの階層構造と共に在る。ドクトリン階層（doctorine hierarchy）は、ドクトリンをノードとする非循環的有向グラフになるが、グラフ辺には自由生成・忘却-対による随伴関係が割当てられる。

下位ドクトリン階層が線形のとき、指標は (Σ₀, Σ₁, ..., Σ_n)のような列になる。0≦k≦n のkまでで打ち切ったとき、それは下位ドクトリンのk-指標になる。

下位ドクトリン階層が非線形で入り組んでいるとき、どんな定式化が可能だろう？ 忘却関手（台関手）という概念がキーになるだろう。

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箙と指標、自由生成と忘却を扱うには、コンピュータッドを使うことになるだろう。コンピュータッドは、生成系・関係系の理論（＝シジジー（syzygy）理論）の圏論版だ。論理の高次圏論による定式化にもコンピュータッドは必須だと思う。むしろ、論理の（高次）圏論化に過程でコンピュータッドの使い方が分かるのだろう。