高次概反射的箙

次の概念を定義する。

• 箙
• 反射的箙 s, t, i版
• 反射的箙 ‖, ◁, E版
• 半反射的箙 ‖, ◁, E版で、Eを空でもよいとする。
• 高次の概反射的箙Qは、Q₀が半反射的箙、それ以外のQ_i反射的箙

(Q, ‖, ◁, E)が反射的箙だとは、

1. ‖はQ上の同値関係
2. f‖f', g‖g', f◁g ならば、f'◁g'
3. e∈E ならば、e◁e （自分と隣接している）
4. e, e∈E, e‖e' ならば、 e = e'
5. 任意のfに対して、x◁f となる x∈E がある。
6. 任意のfに対して、f◁y となる y∈E がある。

C

0 = E,

C

1 = Q として、i:

C

0→

C

1は埋め込みとする。s(f) := εx.(x◁f となる x∈E), t(f) := εy.(f◁y となる y∈E) としてs, tを決めると、s, t, i方式の反射的箙となる。

(Q, ‖, ◁, E)が半反射的箙だとは、

1. ‖はQ上の同値関係
2. f‖f', g‖g', f◁g ならば、f'◁g'
3. e∈E ならば、e◁e （自分と隣接している）
4. e, e∈E, e‖e' ならば、 e = e'

つまり、fに対するソース／ターゲットの存在要求を外したもの。Eは空であってもかまわない。

任意の集合Aに対して、(A, ‖, ◁, E) を次のように定義すると半反射的箙になる。

• a, b∈A なら a‖b
• どんなa, bでも a◁b とはならない。
• Eは空集合

集合の列 |C|_i （i∈J）があり、その上の半反射的箙構造を (|C|_i, ‖_i, ◁_i, E_i) とする。

• i = 0 以外では、半反射的箙構造は反射的箙になっている。
• i＞0に対する|C|_i上の反射的箙構造は、s_i-1, t_i-1, i_i-1 によって誘導されたものである。

C	kの要素をk-射と呼ぶ。0-射を対象, 1-射を単に射と呼ぶ。共端なk-射の対を共端k-射対と呼ぶ。(a, b)が共端k-射対のとき、ホムシングC(a, b)が定まる。C(a, b)は(n - k -1)-概反射的箙となる。

C(a, b)(x, y) = (C(a, b))(x, y) のような記法が意味を持ち、C(a, b)(x, y) = C(x, y) = C(x, y :^k+1a, b) が成立する。

• x :^k+1a, b
• x :^k+1a→b
• x :^k+1a→^k+1b