三角ハイブ 基本定理 2

三角ハイブ 基本定理 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の続き。

三角ハイブの圏（実際には単なる圏ではない）上で定義されるC標的な関手が、ある公理を満たすときC標的なZ不変量と呼ぶことにする。Zはzombieから。

1. Z不変量は、標的圏C内の特殊フロベニウス代数と1：1対応する。
2. 三角ハイブを同じZ不変量を持つなら同値として分類すると、各同値類の代表として、(n, m)-多角形状三角ハイブの直和であるものを取れる。

Z同値関係は、連結成分の個数と、各連結成分の境界での線分割（セグメンテーション）の方法だけで決まる。

Cの特殊フロベニウス代数の圏を SpFrobAlg(C) とすると、

1. Z(TriangHive, C) SpFrobAlg(C)
2. TriangHive/Z {|(n, m)-多角形状三角ハイブの直和}

二番目は一種の構造帰納法で証明できる。入口境界に襟を付けて、その襟を基底（ベース）として、三角形をアタッチしていけばよい。したがって、基底ケースでの証明と、三角形アタッチのステップでの命題の保存を示せばよい。