FHKのオモチャ

FKH構成（Fukuma-Hosono-Kawai）のオモチャを構成したい。平面内の凸(n + m)角形Pがあるとき、f:A^[n]→A^[m] を対応させたい（A^[n]はテンソル積の意味でのn累乗）。次の条件を課す。

• fは、Aとμとδだけから決まる。
• fはPの三角形分割と双対方向付けに寄らない。

三角形分割を曲三角形（curved triangle）、円弧三角形（circular triangle）を許す。ただし、制限が強くて、

1. 一辺だけが円弧である凹三角形。
2. 一辺だけが円弧で一角が平角である凸三角形。

この制限のもとでは、円弧は平角四角形の対角線にしか出現しない。

凹三角形と平角三角形を許す三角形分割の全体をTri⁺(P)とする。通常の三角形分割の全体をTri(P)とすると、Tri(P)⊆Tri⁺(P)。

Tri⁺(P)の要素をK, L, Mなどで表し、細分関係 K≦L を入れる。そのとき、

• 共通細分定理：任意のK, Lに対して、K≦M, L≦M となるMが存在する。
• 通常分割化定理： 任意のKに対して、K≦M でMは通常分割であるMが存在する。

対角変形とバブル変形を基本変形（基本移動）とする。

• 対角変形：凸四角形の対角線を取り替えてよい。凹三角形と平角三角形を組合せた凸四角形でもよい。
• バブル変形：直線の辺（線分）を2つの平角三角形に置き換えてよい。

次の定理が成立する。

• 任意の通常三角形分割のあいだは、対角変形とバブル変形で移りあう。
• 対角変形とバブル変形で不変な量はwell-definedである。

主要定理は、

• FHK対応は、ベクトル空間AとA上の非単位的分離フロベニウス代数を定める。
• 任意の非単位的分離フロベニウス代数は、FHK対応を定める。

注意：

• 単位元、単位律は出てこない。
• 可換性は出てこない。